数量关系知识点汇总

数量关系知识点汇总

在行测中，数量关系往往是让我们最为头痛的模块之一，主要是因为数量关系知识点灰常多，并且考察方式也十分灵活，需要考生能够灵活运用各种知识点对应的公式、解题思路。而广大考生对于数量关系的知识点并没有形成体系化，导致无法进行题型识别，然后顺利解题。在此，我将数量关系中涉及的常考题型进行大汇总，便于大家形成体系，从而灵活调用。

一、不定方程

根据题干意思列方程求解是最基础的一种题目，如果你数量关系时间不够选择挑题目做，首先就要把这一类题目找出来解决掉。列出方程以后，有些题目能够直接解出未知数，而有些题目的未知数的个数要比方程的个数多，这类方程叫做不定方程或不定方程组。

常用解法

（1）代入法：有些题型可以直接将选项代入题干，或者由题干列出的不定方程进行排除，比如：多位数问题，余数问题，年龄问题，页码问题。

（2）特值法：题干中隐藏了一个未知定量，不管我们所设的未知数怎么变，这个未知定量永远不会变，这时我们就可以取一个未知数为特殊值（0或1或最小公倍数）以方便计算。

（3）数字特性法：

1.奇偶特性：

基本公式：

奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；偶数+奇数=奇数；

偶数×偶数=偶数；偶数×奇数=偶数；奇数×奇数=奇数；

两个推论：

(和差共性)任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果两个数的和是偶数，那么差也是偶数。

(奇反偶同)任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶性相反;和或差是偶数，则两数奇偶性相同。

实际应用：

知和求差、知差求和、系数为奇数的未知数可以判断它的奇偶性。

2.整除特性：

些常用数字的整除判定：

能被3整除的必须各个位上数字的和能被3整除；

能被2(或 5)整除的数，末位数字能被2(或 5)整除；

能被4(或25)整除的数，末两位数字能被4(或25)整除；

能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除；

能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除；

能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差能被7整除；

能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除；

ps:能被7 (或11或13)整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 (或11或13)整除。

3.比例特性：

4.尾数特性：

在不定方程中，遇到未知数的系数为5，则这项的尾数一定是“0或5”，由此可以推算剩余项的尾数为多少。

如果遇到复杂加法、减法、乘法、平方，多次幂计算问题，且四个选项的尾数不一样，则可以用尾数特性只计算出结果的个位数即可选出答案。

【例题】

（2016国考省级）20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比：

A. 两者一样多

B. 买九折票的多1人

C. 买全价票的多2人

D. 买九折票的多4人

【解析】

设全价票x张;九折票y张;五折票z张，则有：

化简可得 x+y+z=20 10x+9y+5z=118 要知x与y的关系，消元z，可得5x+4y=18，奇偶性x要为偶数，那么只有x=y=2的时候，等式成立。选A。

（2012国考省级）某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A. 36

B. 37

C. 39

D. 41

【解析】

设每位钢琴老师带x人，拉丁舞老师带y人。列出方程5x+6y=76。一个方程两个未知数，属于不定方程为题，且x，y为质数。76是偶数，6y也是偶数，因此5x必须也为偶数，即x为偶数。且x为质数。既是质数又是偶数的只有数字2。解出x=2；y=11。当老师数量变为4名钢琴老师和3名拉丁舞老师后。还剩学员4×2＋3×11=41。因此，答案选择D选项。

二、等差等比数列

题型一：等差数列

（1）通项公式：

（2）求和公式：

当n为奇数时：Sn=中间项×项数

当n为偶数时：Sn=中间两项的平均数×项数

（3）特殊性质 若m+n=p+q,则Am+An=Ap+Aq

对于等差数列，考试中常以中项求和公式为重点进行考察。

题型二：等比数列

（1）通项公式 ：

（2）求和公式 ：当q=1时，

当q≠1时，

（3）特殊性质 若m+n=p+q,则Am*An=Ap*Aq

【例题】

（2016联考）某商店10月1日开业后，每天的营业额均以100元的速度上涨，已知该月15号这一天的营业额为5000元，问该商店10月份的总营业额为多少元？

A. 163100

B. 158100

C. 155000

D. 150000

【解析】

10月共31天，10月16日的营业额为5000+100=5100元，根据等差数列的规律。则该商店10月份的总营业额为5100×31=158100元，B项正确。

三、工程问题

工程问题大部分题型都会用到赋值法，在之前的年份中，一般出现的是中规中矩的题型，题型数据特征明显，赋值法的应用也比较简单，主要有两类： 　　（1）赋值工作总量：题干中只给定工作时间，赋值工作时间的最小公倍数

（2）赋值工作效率：题干中只给定时间和效率比(工作效率之间的比例或倍数关系)，根据比例关系进行效率赋值，从而列等式计算。

【例题】

（2017江苏省考）若将一项工程的1/6、1/4、1/3、1/4和依次分配给甲、乙、丙、丁四家工程队，分别需要15天、15天、30天和9天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间是（ ）　　

A. 12天

B. 15天 　　

C. 18天

D. 20天

【解析】

由已知条件可知甲单独完成需要90天、乙单独完成需要60天、丙单独完成需要90天、丁单独完成需要36天。所以赋值工作总量为360，可得甲乙丙丁的效率分别为4、6、4、10，故四人合作所需要的时间为360/(4+6+4+10)=15天，正确答案为B选项。

（2017北京市考）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】

题干中叙述“两人一同工作4天，剩下工作量李需要6天，或王需要3天完成…”说明李6天工作量和王3天工作量相同，可得李和王的效率比为1:2，赋值李的工作效率为1，王的工作效率为2，工作总量=4×(1+2)+6×1=18，两人共同工作了5天，完成总量=5×(1+2)=15，剩下工作总量18-15=3，还需李工作3÷1=3天，因此，本题答案选择B选项。

四、经济利润问题

题型一：基础经济利润问题

解决经济利益相关问题，首先我们要掌握核心的知识点：

（1）总售价=单价×销售量；总利润=单件利润×销售量

（2）总利润=总售价-总成本；单件利润=单价-单件成本

（3）利润率=利润/成本=(售价-成本)/成本=售价/成本-1

（4）售价=成本×(1+利润率)成本=售价/(1+利润率)

（5）“二折”，即现价为原价的20%，“九折”，即现价为原价的90%。

几乎所有的经济利润问题，我们都可以代入以上公式求解出答案，因此我们只需要找到题目中各个数据所对应的变量，直接代入方程即可。

题型二：分段计费问题

在经济利润问题中，分段计算的问题有很多，比如水电费、个人所得税、出租车合乘费用等等，而且多是与现实生活密切相关的问题。这类题型需要明确其原理，找好收费区间分段点、不同收费区间的收费标准即可迅速解题。

题型三：费用统筹问题

此类型的问题多涉及商场打折、满减送劵活动、不同方案的选择等和生活息息相关的例子，往往考生需要计算的是每种方案的成本是多少，选择花费最少的方案。

【例题】

（2018国考省级）甲商店购入400件同款夏装。7月以进价的1.6倍出售，共售出200件；8月以进价的1.3倍出售，共售出100件；9月以进价的0.7倍将剩余的100件全部售出，总共获利15000元。则这批夏装的单件进价为多少元（ ）

A．125

B．144

C．100

D．120

【解析】

设这批夏装的单件进价为x元。则(1.6x-x)×200+(1.3x-x)×100+(0.7x-x)×100=15000，解得x=125。因此A项当选。

（2017江西省考）某地区居民生活用水每月标准用水量的基本价格为每吨3元，若每月用水量超过标准用水量，超出部分按基本价格的130%收费。某户六月份用水25吨，共交水费83．1元，则该地区每月标准用水量为：

A．12吨

B．14吨

C．15吨

D．16吨

【解析】

设每月标准用水量为x吨，则六月有3x+(3×130%)(25-x)=83.1，解得x=16。

（2011联考）去某地旅游，旅行社推荐了以下两个报价方案：甲方案成人每人1000元，小孩每人600元；乙方案无论大人小孩，每人均为700元。现有N人组团，已知1个大人至少带3个小孩出门旅游，那么对于这些人来说（ ）。

A．只要选择甲方案都不会吃亏

B．甲方案总是比乙方案更优惠

C．乙方案总是比甲方案更优惠

D．甲方案和乙方案一样优惠

【解析】

本题考查比较大小。当1个大人带3个小孩时，甲方案：1000+600×3=2800，乙方案：700×4=2800，此时甲等于乙。但是根据题意当小孩人数增加时，甲方案费用就会比乙方案少，所以A项符合题意。故选A。

五、行程问题

考点一、基本公式

路程=速度×时间

路程一定，速度与时间成反比；

时间一定，路程与速度成正比；

速度一定，路程与时间成正比。

考点二、追击问题（同向）

追及距离=(大速度-小速度)×时间

考点三、流水行船问题

顺水速度=船速+水速；

逆水速度=船速-水速；

路程=顺水速度x顺水时间；

路程=逆水速度x逆水时间；

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2；

考点四、多次相遇问题

（1）两端型 如下图：

甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，则共走了1个全程；到达对面b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了2个全程。依次类推，以后每次相遇都要多走2个全程，第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S=(V甲+V乙)T总（S为全程，下同）。

（2）单端型 如下图：

甲、乙两人同时从A端出发，甲乙第一次迎面相遇在a处，共走2个全程。在b处迎面第二次相遇，共走2个全程。依次类推，以后每次相遇都要多走2个全程当第n次迎面相遇时，两人的路程和为2nS=(V甲+V乙)T总，每次相遇用的时间相同。

【例题】

（2015江西省考）在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲乙两款模型相遇次数是?

A.9

B.10

C.11

D.12 　

【解析】

由题意，12分钟时，甲、乙模型行驶的路程分别为1000米和1200米，两车的路程和为2200米，根据公式：路程和=(2n-1)×S，解得n=11.5。故两模型相遇了11次。因此，本题答案选择C选项。

（2005浙江省考）今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处．甲、乙两船分别从A、B两港同时出发，都向上游航行．甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游。甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品．当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇．已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍．当甲船调头时，甲船已航行（ ）千米。

A. 38

B. 30

C. 18

D. 25

【解析】

方法一：设水速为x，静水速度是6x；顺流速度是6x+x=7x，逆流速度是6x-x=5x，落水物品速度是水速x，（x+5x）t=60，6xt=60，t=10/x，

这时乙航行10/x×5x=50（千米），

掉落物品漂流了：60-50=10（千米），

甲行10千米的顺流时间是：10÷7x=10/7x

所以，甲船逆流航行到某地时的时间是：

当甲船调头时，甲船已航行=

答：当甲船调头时，甲船已航行25千米。

方法二：以掉落的箱子为参照系，两船相遇时，乙相对于箱子走了60千米，因为甲乙两船在静水中的航行速度相等，则相遇时，甲船也相对于箱子走了60千米，因为甲船有个往返，所以甲船单趟相对箱子走了30千米，假设相遇时间为1小时，则甲乙两船的静水速度为60千米/小时，甲船掉头时用了0.5小时。因为甲乙两船的静水速度是水速的6倍，所以水速为10千米/小时，甲船掉头时航行了(60-10)×0.5=25千米。

六、容斥问题

解决容斥问题重点记住两个技巧即可：①利用文氏图表达多个集合间的关系(做到理解每一部分所代表的含义，其中面积大小代表元素个数)。②牢记面积去重原则寻找等量关系计算。

考点一、基本公式

两个集合的容斥问题公式：

A∪B=A+B-A∩B

三个集合的容斥问题公式： 　　

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

对于三个集合容斥问题，建议画出文氏图来辅助求解。具体操作过程如下： 确定分类标准→把集合对应圈圆→确定各圆圈位置关系→确定各集合逻辑、数量关系。一般地，三个集合容斥问题的文氏图如下：

上图中需要注意的是：A∩B+B∩C+A∩C=只重复两次的情况+3×重复三次的情况。

这样，A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C=三个圆各自情况之和－只重复两次的情况－2×重复三次的情况。

从上述解析中可以看出，对于容斥问题，仅仅通过背背、套套公式是不能解决问题的，而是要真正理解公式所表达的含义。

考点二、容斥极值问题

（1）求N个集合公共部分的最小值

这类题型是求中间最小圈的最小值问题，可以用公式：

两集合公共部分最小值=A1+A2-I

三集合公共部分最小值=A1+A2+A3-2I

（2）求三个集合重叠两层部分的最大值

这类题型是求只包含两者的最大值，公式为(A1+A2+A3)÷2。

【例题】

A.20%

B.30%

C.40%

D.50%

【解析】

这道题题干中存在只报名参加周日的，也有只报名参加周六的。这类非标准型优先用图示法解答。

这个题目没有任何一个具体的量，所以我们要设置未知数，一般设两者都满足的量(最中间部分)为X，只满足周日为带斜线的部位(注意：它与满足周日意义不一样)为2X，那整个周日为3X，则整个周六为6X，只满足周六为5X。总共周六周日加起来参加的人数为8X，未参加的人数为2X,最后可得未参加的人数是只参加周六人数的40%。

（2015年陕西）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。

A. 20

B. 18

C. 17

D. 15

【解析】

根据容斥原理的基本思路，先把喜欢三座名山的人数加起来，28+30+42=100人，再减去重复的部分，比如8人既喜欢黄山又喜欢华山，这8个人相加时就被计算了两次，需减去一次，即减去黄山和华山的重叠部分，同理减去黄山和泰山的重叠部分，减去泰山和华山的重叠部分。减完之后中间这一小部分前面加了三次，后面又减去了三次，所以最后必须再加上三者共同的部分。100-8-10-5+3=80，这80人表示至少喜欢一座山的人数，那一座山都不喜欢的就是20人，选A。

六、排列组合和概率问题

考点一、基本公式

公式描述：

公式中A(n,m)为排列数公式，C(n,m)为组合数公式。

考点二、拓展排列组合

(1)捆绑法

题干特征：题干内容中出现了元素要求相邻的情况时，可以将相邻元素捆绑在一起看成一个大元素，然后再将捆绑后的大元素与其他元素进行排列，排列时注意捆绑内部元素之间是否有位置选择的关系，捆绑法经常应用于元素的紧邻问题当中，座位的相邻等题目中。

(2)优限法

题干特征：题目内容中一些元素或是位置有特殊的限制或要求时，建议同学解答过程考虑优限法。即优先考虑这些有限制条件的元素或位置，然后再去解决其他元素或位置。

(3)插空法

题干特征：当题目中的某些元素不能相邻时或者不能在一起，先把其他元素排列，再将指定元素插入已经排好元素的空隙(包括两端位置)。

考点三、错位全排列

错位重排是指一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。我们只需要记住通项公式s(n)=(n-1)[ s(n-1)+s(n-2)]，进行计算就可以。

考点四、概率问题

概率=满足条件的情况数/总的情况数；

分布概率=满足条件的每个步骤概率之积；

分类概率=满足条件的各种情况概率之和；

【例题】

（2018国考省级）某企业国庆放假期间，甲、乙和丙三人被安排在10月1号到6号值班。要求每天安排且仅安排1人值班，每人值班2天，且同一人不连续值班2天。则有多少种不同的安排方式（ ）

A．15

B．24

C．30

D．36

【解析】C。本题采用枚举法。假设10月1日安排甲值班，10月2日安排乙值班，将安排情况梳理如下：

此时符合条件的情况有5种。而10月1日和2日可以从甲、乙、丙三人中任选两人值班，所以共有5×A(3,2)=30（种）不同的安排方式。因此C项当选。

（2018国考省级）某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率（ ）

A．不高于15%

B．高于15%但低于20%

C．正好为20%

D．高于20%

【解析】

由题干可知，会议室座位一共有5排共40个座位，每一排8个座位。小张和小李随机入座总的情况数为A(40,2)，满足条件的情况数为C(5,1)×A(8,2)，则所求概率为

。因此B项当选。

七、趣味问题

植树问题

方阵问题

走楼梯问题

牛吃草问题

溶液混合问题

和定最值问题

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