從全等三角形的證明起步的第1問，讓人倍感親切，人人皆可得分；判定線段相等的第2問，用等角對等邊輕鬆解決，更增添信心；經典“一線三直角”的圖形，讓多數學生覺得第3問“曾經做過”，將線段用代數式表示，從而列方程求解；求線段乘積的第4問，毫無疑問與相似三角形有關，但即使沒想到相似三角形，也沒關係，條條大路通羅馬，總有你能解決的，只要按正常數學思想方法進行。
題目
23.（11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC摺疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC於點F.
（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；
（2）如圖2，①求證：BP=BF；
②當AD=25，且AE ③當BP=9時，求BE·EF的值. 解析 （1）這一對全等三角形的三個條件非常明顯，AB=DC，∠A=∠D=90°，AE=DE，用SAS判定； （2）①BP和BF恰好是△BPF的兩條邊，於是最佳方案便是證明它是等腰三角形，觀察它們的兩個角，∠BPF由摺疊等於∠GPC，再由平行線同位角轉換到∠EFC，最後對頂角轉換到∠BFP，轉換關係如下圖： ②求三角函數值，首先要確定它所在的直角三角形，Rt△PBC中，已知知道BC=AD=25，算是有利條件，它就成為我們的突破口，在摺疊過程中，BP=PG，在線段AD兩端分別有∠A=∠D=90°，中間有∠BEC=90°，這顯然是“一線三直角”基本圖形，因此△ABE∽△DEC，利用比例線段AB:DE=AE:CD，再加上AE+DE=25，可輕鬆求得AE=9，DE=16，再由“有平行必有相似”得到△CEF∽△CPG，從而EF：PG=CE：CG，可求出BP=25/3，於是掃清了一切障礙，最終在Rt△BPC中求cos∠PCB=3√10/10 
③條件發生改變，已知線段變成了BP，結論要求線段乘積，第一反應是找相似，包含線段BE和EF的相似三角形有沒有呢？沒有，能構造嗎？以誰為藍本？
帶著以上問題，分析題目條件，先以△ABE為藍本，尋找或構造與它相似的三角形，前面已經證明了BE∥PG，而BP=BF=PG，從而連接FG後得到菱形BPGF，這樣就得到了一個新Rt△GEF，它恰好包含邊EF，而△ABE包含邊BE，它們相似嗎？同樣是直角三角形，還有一個銳角是同位角（∠GFE=∠ABE），因此得到△ABE∽△EFG，比例線段為BE:FG=AB:EF，轉換成乘積式為BE·EF=FG·AB，而FG為菱形邊長=9，AB=12，從而結果為108，如下圖所示：
若以△CEF為藍本找呢？因為BF為BE的一部分，它又與BP相等，因此我們可先觀察△CEF與△CBP，它們顯然是相似的，但比例線段為不EF:BP=CE:CB，並不是我們需要的，同樣由“一線三直角”基本圖形，我們還能找到△ABE∽△ECB，比例線段為AB:EC=BE:CB，稍加變換後得到AB:BE=EC:CB，恰好與上一個比例式右邊吻合，因此得到EF:BP=AB:BE，轉換成乘積式EF·BE=BP·AB=108；
而精通面積法的同學，則能找到新的出路，△BFC與△BEC為等高三角形，於是它們面積的比=BF:BE，我們換個角度看它們，作△BFCBC邊上的高FH，它的面積還能寫成1/2BC×FH，△BEC面積寫成1/2BC×12，再把面積比一次，我們可得到BF:BE=FH:12，其中可證明FH=EF，於是得到BF:BE=EF:12，化為乘積式BE·EF=BF·12=108，如下圖：
反思
考完後多數學生會感覺這道幾何題較簡單，當然沒錯，也有學生會覺得它最後一問比較難，當然也沒錯，這就是一道好題的最直觀感受。簡單是因為它給考生充分的鋪墊，圖形看上去很眼熟，而難是因為最後一問無論哪條常規思路，都走得通，但你先得敢走下去，而不是被繁多的相似三角形弄花眼，事實上，無論是相似還是面積法，堅持走到底，終能見效果，這對那些急於求成的學生無疑是巨坑，而數學，需要的不是小聰明，未來真要研究數學，寧願“笨”一點，這樣才沉得住氣搞研究，同樣對教師教學也有明顯的指導意義，平時例題講解時，把常規解題思路要講透，典型圖形要深挖，只有平時習慣上這樣思考數學問題，真正來到考場，會發現所有題目都似曾相識，解題效率極大提高。
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