给力大象

这个问题作为数学老师有一个非常的深刻的体会，对于孩子们接触加法和乘法过渡衔接学习时，这个乘法的含义是非常重要的，而且通常是通过加法练习的，而且我们知道乘法的含义：是表示几个相同加数的简便运算，所以这个定义给出了明确的规范要求，相同加数就是表示第一个乘数，而加数的个数是几就乘以几，所以8×5就是表示5个8相加，而如果是5×8，就是表示8个5相加，而不能解释为5个8相加，所以这些都是一些数学的规定，也是为了孩子们形成良好的数学习惯和思维。

所以，我们在学习过程中要注意学习一个习惯的培养，特别是对于数学一些基本要求和习惯要严格要求，或许到了高年级就是因为习惯和数学作答不够规范而丢失很多分数。其次就是数学思维的培养，我们在按照严格的数学规范下，更重要的是整个数学的思维，而不是追求一种是数学题的结果和形式。

思维数学小课堂

5×3引发的争议。

起因是一个美国三年级学生数学试卷，题目是用累加的方法解决问题5×3。考察的也是对乘法含义的认识。学生写出5+5+5被判错(红圈)减一分，老师给出的正确答案是3+3+3+3+3(黄圈）.如下图。

补充：可能很多网友看不明白，先普及下，美国教乘法含义是和我们的定义是不一样的。

拿5×3来举例

中国乘法含义：5+5+5 → 3个5相加 → 5×3

美国乘法含义：3+3+3+3+3 → 5个3相加 → 5×3。

结语

就个人来讲，还是支持严格区分。但要讲清楚两个因数变化位置不影响结果。如下图。

① 按行累加

② 按列累加

③ 行列转换(旋转90°)来理解两种含义互换。

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一学堂王老师

我曾经回答过类似的问题，我觉得有必要先了解一下那个问题，才能更好的回答这个提问，我先把我当初的那个回答复制在下方，以便更好的理解，如果没耐心，也可以跳过。

我们太注重于计算的结果，但却忽略了对四则运算的认知

由于我们有九九乘法表，所以导致在运算乘除法时，其计算结果都是基于九九乘法表而背出来的，当然不止限于9x9之内的计算，而是所有乘除法，举个例子，我们计算17×13，如果用手算，会列竖式，用13的个位3乘17，得51，再用13的十位1乘17，得17，然后再用51的1做结果的个位，用51的5加17的7，得12进1保留2，17的1为结果的百位，加上进位1，最终结果是221。你会发现，整个的计算过程还是靠九九乘法表背出来的，我们做的工作，只是机械的套用竖式的计算形式而已（其实竖式的计算形式也是根据四则运算的性质提炼出来的计算方法，我在这就不说明了）。但实际上17×13的运算是什么样呢？它代表13个17相加，正确的运算方式是17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17＝221。但是我们往往忽略了。

可是有人问，这不是更麻烦了吗？但我想说的是，如果仅仅从计算的效率来说，这确实不足取，确实九九乘法表计算效率更好。可是如果从对运算的理解来说，九九乘法表却不容易帮助理解。还拿上述的例子继续说，通过对17×13的还原，我们会发现，所谓乘法，就是数字的累加，其实就是加法运算，而除法运算，作为乘法的逆运算，其实也是加法的逆运算。而所谓的加法的逆运算减法，其实就是一个数加另一个数的相反数，其实还是加法，所以综上所述，所谓的四则运算，其实就是加法运算，减乘除只是加法的其他计算表现形式。

但如果只注重九九乘法表，只注重计算效率，就会认为加法就是加法，乘法就是乘法。这在数学思想上就是不对的。

对四则运算认知的不足，会引发更大的问题。

有人可能会说，管他什么认知不认知，不认知这些，照样能计算出来，没什么大问题。但是我想说，如果连这个基础都认识不清楚，那么对数学的学习就很难进步，有的人数学学的很好，可他自己都不知道自己为什么能学的这么好，其实就是他潜移默化之间，明白了这些最基本的数学思想（当然基础数学思想不只有四则运算的认知），而有些人数学无论怎么学，都不行，其实就是连最基础的数学都没弄明白。我单单提一下对四则运算认知不足的后果。

最明显的一点，就是对高等数学不理解，他们很难弄明白级数的概念，他们很难理解为什么一个积分函数能分解出多项式，他们看泰勒公式就像看天书，他们很难明白曲线积分曲面积分的含义……这些种种不理解，其实根源就是，他们把运算分割了，认为加就是加，乘就是乘，或者即使知道，但却忽略了。为什么会忽略？因为计算直接靠背就行。这可能是很多大学生学高数费劲，很多老师讲课也费劲的原因之一。

当然，没有批评中国教育的意思，而且客观的说，中国基础教育总体来说还是非常成功的。而且我指出的问题，只是从认知方面进行的分析，如果从效用上分析，九九乘法表就有其天然的优势了，如果中国的教师，都能既注重效用，又注重认知，把这些都综合起来，那么一定会更好。

上面这段粘贴的是我当初的回答，作为回答这个问题的背景吧。对于乘法，其实就是加法的另一种表现形式，8×5和5×8，虽然计算的结果相同，但是代表的数学含义是完全不一样的。之后所谓的交换律，结合律，分配律等，都是基于计算而提出的。8×5不能写成5×8，这不是死不死板的问题，而是一个最基础的数学认知问题，他考察的不是计算，而是对四则运算乘法的认知。如果你对我粘贴的部分进行阅读了的话，就会更加深刻的理解这其中的含义了。

教育有话说

我想这不是学校、老师死板，而是数学的严谨！虽然8*5同5*8的结果一模一样，但意义完全不同。

要解释这个问题，我们先要弄明白什么是乘数，什么是被乘数以及乘和乘以的区别。

所谓被乘数就是乘法中被乘的数字，放在乘法符号前面，而乘数是用以乘的数字，放在乘法符号后面，两者统称为因数！

而

这可能有些晦涩绕口，举个例子吧：a*b。

这里面a是被乘数，b是乘数，读作a乘以b，或者b乘a，表示有b个a相加。

倘若反过来，b*a，则意义完全相反，是a个b相加！读作b乘以a，或者a乘b。

所以题主的五个八相加，只能写成8*5，读作8乘以5！否则，意义就完全不对了。

我想很多人都觉得这很麻烦，明明结果都一样，还搞这么多名堂，纯粹是多此一举的事情，但数学概念就是这么严谨，容不得半点歧义！

把这个知识点延伸开，到除法，除和除以的结果就天差地远了。

请叫我树先生

我是翼翔老师，教育是我的主业。

在目前的教纲中，这两个写法都是被允许的，答案确实是两个空。

这个问题，注定会引发热议。

原因有二：

1、和以前我们小时候学的不一样。

2、有些工作，明确的要求注意乘法中数字的位置。

那么，为什么现在要修改教材，数学不是讲究严谨的吗？这样修改过后，明显让人感觉不严谨了嘛！

第一点：绝大多数工作和生活中，不需要区分乘法中数字的位置

以前的教材，是有乘数和被乘数的区别，而现在教材，统一称为乘数。

而在我们的生活中，运用到乘法的时候，一般很少考虑位置的先后。

第二点：一个乘式，可以表示两种意义（和以前的教法不一样）

比如：8+8+8，可以写成8*3，也可以写成3*8，这在新教材中都是被允许的。

同时，在没有应用情境的情况下，一个乘法算式可以代表两种意义：

8*3，既可以代表3个8相加，也可以代表8个3相加。

但在实际情境中，需要孩子知道算式的具体含义是代表几个几相加。

下面看教师用书中这段说明：（注意理解各数的意义，但是列式不分先后）

最后，最好在此提到一下历史教法：以前的教法中，8*3只能代表一个意思，3个8相加，这样做的好处是让孩子对知识的发展有个大致的了解，但是不做强制要求。

第三点：很多孩子在学习乘法中，对于乘数和被乘数的识别感觉到非常困难

大家应该都有经验，我们以前在学习这部分内容的时候，经常会为搞错数字的先后感到苦恼。所以，在考虑实际运用的过程中影响很小，现在把这个内容降低难度，达到一个减轻孩子负担的目的。

第四点：方便学习乘法口诀和乘法交换律

在学习乘法口诀和交换律时，可以比较容易让孩子们理解。

看下图：

从上图可以看出，同样多的小球，我们根据以前的规范：

横着看，得出6*4=24

竖着看得出：4*6=24

所以可以理解出交换律，6*4=4*6，都可以用四六二十四来记忆。

综合以上，目前所用的教材，提及乘法的意义，乘式代表的意义。但是，对于乘数和被乘数的说法，已经改成了都是乘数。

对于以后工作中，如果要运用到乘数和被乘数的概念时，可以稍微学习一下即可。

翼翔老师的儿童教育

这是一种规范，但也是错误的规范。

5个8相加，为什么不能同样是8个5相加？

强调过程的意义在于什么？在于保证人在规范的条件下获得结果，而我们所说的规范条件，其实就是合法、符合道理、符合道德。除此之外，任何形式逻辑都不应该作为思维的束缚。

5个8相加的结果是40，8个5相加的结果还是40，用两者方法都能得到同样的结果，而这也不涉及到法律、道德、道理的问题。为什么不可以？有人说5个8相加只需要做四次加法，而8个5相加却需要做7次加法，所以，5个8的运算速度更快。

这也是一个比较荒谬的结论，数理上的速度，并不代表物理上的速度，每个人的大脑不同，在处理信息时采用的方式也不同，最好的办法当然就是按照个人最佳方式来，而不是按照数理上认为的最有效方式。举个简单的现实例子，看下图。

黑线是两点之间线段最短，而红线呢？却是速度最快，因为人游泳的速度不可能比跑步快，更何况还要顶着海浪。如果一定要按照数理上的最佳方式，可能救援者就仅仅晚到十几秒，落水者已经淹死了。

美国内华达州有个案例很火，一个母亲告幼儿园教会了自己孩子“o”是一个字母，结果母亲胜诉了。

这件事儿看起来很荒谬，很多人认为学校帮助学生知道字母“o”是天经地义的事情，但是我们不妨看看那位母亲的申述主张，她说：我的孩子再知道“o”是字母，并指导这个字母的读法之前，她会把这个字母想象成鸡蛋、想象成轮胎、想象成一切可以是圆形的东西，但是她现在只是知道那时字母“o”。

为什么当地法院会判这位母亲胜诉，因为母亲拿出来法官不能拒绝了理由，那就是学校剥夺了孩子的想象空间，更抑制了孩子自由发展的空间。

我们的教育中有很多问题，其中最令人无法接受的就是教条主义，一个结论只能对照一个过程，如果出现另一种方式，那就必然是错的，这就是对孩子数学天赋的抑制。教育者有没有考虑过，为什么享誉世界的中国数学家里面，只有华罗庚和陈景润是自己培养出来的？为什么苏步青、陈建功、陈省身都是从国学回来的？为什么我们改革开放之后，一个世界级的伟大数学家都没有培养出来，就是因为这样教条主义，导致很多有天赋的人，必须要出国学习，才能获得成功。

想想华罗庚和陈景润，我们伟大的民族几亿人口里面才出现两个，这是什么概率？

不能否认特定领域5个8和8个5之间存在区别，但认识的方法不应该是教条的，否则就是失败的教育。

我们强调获得结果可以用任何方式，前提是不能违法法律、道德和道理。如果只是过程的学习，并且一定要强调5个8和8个5之间存在区别，那就要拿出来道理，不要硬性规定。

这个世界上没有什么事情是绝对，之所以1+1=2，是因为在这个算式里面，1被赋予了作为最低整数单位的特征，但在这个特征之下，也会有其他的答案，比如24，因为两打啤酒是24瓶。

做规范没问题，但教育者也需要自己先把问题搞明白。当一个孩子面对5个8相加的时候，他习惯性把8写在后面，然后再去查个数写在前面，这有问题吗？

有些人说数学是严谨的，所以必须这样。这话怎么这么像键盘侠说的？数学是严谨的定理化的严谨，不是教条化的严谨。那么多聪明的老师在，谁来说说8*5写成5*8违反了什么定理？

总结一句：教条就是为了省事儿，规矩定下来了，就不用解释了，这不是真的为了孩子好。

补充：统一回复一些问题，以正视听

其实从头到尾说的就是避免思维僵化和教条主义，并且明确说了在法律、道理、道德、定理之外，任何情况都不能作为孩子发挥创造力和想象力的束缚，否则就是对孩子天赋的扼杀。

而一些人留言说工程、算法等等领域必须要规矩，请问有人说这些领域不要规矩吗？上面说的四点要素不是已经涵盖所有必须遵守的规矩了吗？一个刚刚学习乘法的孩子，到底应该用哪个领域来束缚他？工程？计算机？航空航天？还是大家认为那些所有高端的领域？

对于基础数学来说，5*8和8*5，已经没有乘数和被乘数的差别了，教育领域已经把这个规范取消了，因为这个规范是教条的。竟然还有人说两者之间有区别，这不是僵化啊，这是墨守成规啊，这是刻板印象啊。拿成人的思维去约束孩子，那我们更不能出影响世界的伟大数学家了，因为这片土地上已经没有世界级的伟大数学家了。

关于红绿灯，刚才说了，四大元素必须遵守，但差别在于你要去哪儿啊，要是去马路对面，当然要等。要是去斜对面，最好是先走另外一条绿灯的路，这还用探讨吗？

有人反驳我字母“o”的案例，真心觉得这没什么好说的，按照皮亚杰认知发展理论，2-7岁的孩子是开发创造力和想象力最重要的阶段，这里也叫前运算阶段（Preoperational Stage），所以美国那个地方法官才会认可家长的主张，认为幼儿园是有错的。因为大家都明白，如果让孩子晚两年知道字母“o”的含义和发音，并不会影响孩子认识字母“o”和掌握语言。就像我们的汉字一样，一共有十万词组，其中大约四五万常用词组，这点儿字儿两年还学不完么？更何况跟我们汉语言相比，是那么浅显的英语。

这段文字我特意放在最后，而不是放在前面跟他们开撕，因为我知道急于反驳他人的人，是没有耐心看到最后的。相反，和我有着同样理解，同样是反对教条主义和思维僵化教育方式的人，更愿意接收到这最后一部分信息。

还是那句话，无论是数学，亦或者是其他科学，都要保证严谨性，但不是教条化的严谨。科学的基础是辩证逻辑，而不是形式逻辑，因为有了辩证，科学家才能发现科学本身的不足，由此让科学不断的发展。这也是科学的伟大之处，它能让人类生活的越来越好。

但迷信科学的人，却一直认为科学是无所不能的，这类思维僵化的人还是自娱自乐的好，不要出来浪，否则会害人。

小言詹詹

两种观点都没有问题。关键看从什么角度思考。

如果只是为了计算出结果，8x5和5x8都是可以，当然可以填两个空。因为乘法因数可以互换，不影响结果：AB=BA。

但如果要明白乘法的逻辑和意义，那就应该是8x5，因为题中说的是5个8相加，而不是8个5相加。所以只需要一个空就可以了。8x5中，8是被乘数，是不变量，而5是乘数，是个变量。这个逻辑在现实的应用可能意义更大。

打个比方：

我们在学习中，学习知识积累总量=学习的效率x学习时间。所以要加大学习知识的总量，那么只有两个途径，要么是：依据原有的方法和习惯，保持平衡的学习效率，多花一些时间学习；要么是：还用原来的时间，或者减少时间，改进自己的学习方法和习惯，提升自己的学习效率。我想大多数人都想用后一种方式，但很多人并不是能够一下子想清楚这样的问题。

原因就是我们把这两个方面当成了同等重要的东西。这个时候你要把那一部分放在首位，定为变量就很重要了。因为时间是有限的，而且和别人比，时间又是公平的，你和别人比时间，在某种程度上是没有优势的；但在效率上，每个人就各不相同。而且提升效率方面的能力一旦拥有，那是谁也剥夺不了的。

再打个比方：

生产厂商要增加产量，一般也只有三个途径，要么是：改进生产工艺，应用先进技术，提升效率，在同样时间里生产出更多的产品；要么是：保持现有生产工艺和技术，增加生产线，增加员工数量，生产出更多的产品。要么就是都保持不变，要求员工不停地加班加班，增加生产时间，生产出更多的产品。

你要把哪一个放在首位，把哪一个当成变量，就很重要。

乘法，如果只是为了算出一个结果，那就太简单了，甚至都不用怎么去学，如今我们有了计算器，完成可以利用计算器实现。但要让孩子理解乘法的逻辑，我觉得就很有意义。

所以我更加喜欢，只用上个空的做法。

启智

虽是一个简单问题，却能考量出一个老师对数学的理解;也考量出是否懂得教材教法;更考量出一个师资的水平。

看了所有的答案，我实在憋不住说说。希望小学老师和家长能认真看一下下面我的讲述。

数学是什么?简单地说，数学是研究关于《数》的一门学科。数学的核心是抽象，解决数学问题的关键，是从小培养儿童:从实际出发→抽象思维。

以题目为例，可采用生动活泼的教学方法。教案分步如下:

(1)讲清要求:请小朋友上讲台前，将一盆小西红柿数数，堆堆。

(2)一个学生上来，拿出一个，放一边，同时报出数。可让其它同学一起报出数。一，二，三…六，七，八一。老师叫停。

(3)老师把在黑板上，画八个小O，成一排。请注意，这已是一次抽象了。

(4)重复上述各环节，步骤。

黑板上並列出五排8个小O，即完成五次实物到图形的抽象。

O，O，O，O，O，O，O，O，←

O，O，O，O，O，O，O，O，←8个

O，O，O，O，O，O，O，O，←8个

O，O，O，O，O，O，O，O，←8个

O，O，O，O，O，O，O，O，←8个

(5)提问一堆，有多少?可以用8xl表示。

哪二堆有多少?怎么来表示?

此问必须啟发学生，要容学生脑子完成抽象，从而写出8X2来。

后面不再赘述。老师们都明白。……

总之数学也罢，算术也罢，从小就要突出《抽象思维》的培养。

抽象思维好，有利于理科学习，终生有益。

汇燕1

数学是一门系统性特别强，特别严谨的学科，不像语文一句话有很多不同的说法，有同义词的存在，所以对于上面的回答，我觉得只有一个答案，那就是8×5，表示8个5相加。并不是数学的死板，还是一种必须的规范性。我们从小就学习写字，而且要按照正确的笔顺进行书写，老师上课也会强调书写的规范性，英语的字母也是一样的，书写都有一定的顺序，就是这个道理。

这道题中8+8+8+8+8表示5个8相加，如果写成5×8则表示8个5相加。所以两个式子的结果虽然是相同的，但含义是完全不一样的。这就是数学中的严密性和逻辑性。

所以，我们需要从小培养起孩子的规范性和严密性。

逗你学

8+8+8+8+8写成乘法算式只能写8x5，不能写5x8吗，小学数学这么死板？

亲爱的家长同志，这其实不叫做死板，而是叫做规范。

虽然8X5和5X8的结果相等。但是两者所表示的含义不同。

前者表示，5个8相加。后者，表示8个5相加。

如果不这样子规范。那就会乱套啊，比如题目要求请你写出5个8相加的式子来，你难道可以写成5+5+5+5+5+5+5+5来吗？对啊，它和8+8+8+8+8的结果也是一样啊。但是所表达的意义完全不一样。

所以，也请督促孩子，孩子的学习，我们应该从小处细节的规范做起。

比如写汉字，那个笔顺的规范，其实不管你怎么写，横七竖八的，最后那个字还是写出来了。但是为什么小学一年级的时候，要特别强调孩子写笔顺，而且笔顺也是考试的一个重点。就是这个道理。

这个题目来自于某小学的期考试卷，是个填空题，8+8+8+8+8写成乘法算式时给了两个空（ ）和（ ），就有人提出来只能写8x5不能写5x8，所以应该只给一个空。你怎么看这道题？

所以，方老师也认为，这里只有一个空，他的答案只有一个，那就是8X5，表示5个8相加。

我是初中数学老师，班主任，现在今日头条开通方老师数学课堂，专门讲解初中数学题和中考科普，欢迎大家关注。

關鍵字: 数学 加数 乘法