田长松
题主把物理学和数学拿来一起说了。
物理学，从某种意义上讲，是一种“测量”的科学，物理量的数据是通过反复测量得来，为了使数据更精确，物理学家们可以绞尽脑汁设计出更精密的测量方法、尽可能去除更多的干扰因素，以减少误差，得出更精密的数据。而他们能做到的仅此而已。
而数学是逻辑推理逐步深化演进的科学，数学常数并非通过实验得出。他有着严密细致的逻辑推理演算，数学体系是一环扣一环而形成的，其数据在本体系内是准确无误的。数学没有“假说”，他不必经过大量实验数据来验证，他之理论是要“真实无误”、“确定无疑”的“定理”来确立。比如，哥德巴赫猜想和费马大定理，我们可以用大量“实验数据”来说明他是正确的，如果放到物理学家那里就会通过了，但是在数学家那里，这绝对不行！数学家要的是确定无疑的证明！因而数学的体系一经建立，不会被更高深更先进的理论“推翻”。
圆周率若是用物理测量的方法也可以得出数据，但仅是粗略的，人们可以不断改进测量方法，提高测量精度来得出“更精确”的数值。但是这是很局限的，很快就走不通了。
这种物理方法会被数学家们嗤之以鼻。数学家们从古至今对这个常数作了不懈的探索。在理论上，数学家已经知道这个数是“无理数”（是无限不循环的），这意味着，人们得不出一个“完整数据”，只能无限逼近。在计算方法上，从最初的割圆术，到后来的无穷级数，到现在电脑程序演算，圆周率位数已经达到了“想要多少位就有多少位”的地步。
bratskid
因为精确到几亿位的π，可不是量出来的。
在祖冲之之前的年代，π的数值还能量出来。但自割圆术始，就再没有“量”的说法了。（注意，割圆术也不需要“测量”，只是计算）借助割圆术，祖冲之父子成功的把π值计算到了7位小数，即3.1415926. 但这样搞显然还是没前途的，祖冲之父子计算了24000边形，也就是搞出来7位小数。即使这个多边形的边数再翻倍，再翻倍，也到不了10位。
割圆术不行，那什么办法可以呢？
看来只有抛开“圆的周长”，借助更高深的数学理论了。一位名叫韦达的数学家，做出了第一次尝试：
这么一个式子，一直加下去，就无限接近于2/π。然而问题还在：这个数很难算啊，有没有简单的式子？
还真有。
莱布尼茨借助他（和牛顿同时）发明的微积分，根据泰勒展开，做了一个级数：
莱布尼茨级数：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……
虽然好算，但是收敛太慢了。所以他自己也没有继续算下去。
后来则出现了一些稍稍靠谱的，比如：
马青公式：π/4=4（1/5-（1/5）³/3+（1/5）^5/5-(1/5)^7/7+……）+（1/239-（1/239）³/3+(1/239)^5/5-(1/239)^7/7+……）
这个曾经算到137位
现代计算机，则常用高斯法：
收敛超级快，算个十几圈就能精确到上千万位。
所以说，现代的π值计算里面，根本没有“测量”这么个过程。所以，测量的误差，也就不存在了~
IvanZhu
答：两者之间并无矛盾，理论是理想化条件下的模型，实际测量却受精度的限制。
在数学中，我们有很多公式来计算圆周率，利用计算机，有的公式可以轻松把圆周率计算到数千万位，甚至数亿位。
对于圆周率的计算历史，最早人们认为“径一周三”，这是基于实际测量的；我们简单地画一个圆，然后采用测量直径和周长的办法来计算圆周率，其精度到小数点后面第二位已经是极限了。
要想得到圆周率更高的精度，只有通过理论数学的办法求得。
比如我国古代著名科学家祖冲之，就利用割圆术计算到2万多正多边形，才推算到圆周率的小数点第七位，成为我国古代数学的一大成就。
其中，祖冲之使用的割圆术，就完全不依赖于实际测量，割圆术的关键在于计算，大量的开方运算和迭代运算，可不是一般人能完成的，这其中一定耗费了祖冲之的大量心血。
倘若用测量的办法计算圆周率，然后想把圆周率精确到祖冲之的精度，我们可以估计出，需要画出直径10公里的圆才行，这就是实际测量的局限性。
理论数学的好处在于，我们总会有更好的办法来计算圆周率，自从有了微积分、三角函数和虚数后，大量的圆周率公式出现，对于其中一些公式，我们只需要几分钟的手工计算，就可以得到和祖冲之同样的精度。
在实际当中，我们只要把圆周率精确到小数点后面第34位，然后去计算可观测宇宙的周长，就可以精确到一个氢原子直径的精度。
但是这和理论上精确到数亿位并没有矛盾，理论可以指导实际操作，实际也可以反馈去修正理论，两者相辅相成。
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艾伯史密斯
圆周率可不是测出来的
圆周率自古到今一直是数学家们探索的重要方向之一，在以前数学没有发展这么强大的时候，人们认识圆周率确实是通过测量得到它的数据，只是这个数据比较粗糙，只是一个大概的数据。
比较有名的有中国的刘徽，他通过计算192边形的面积，157/50这个近似值，后来又计算出3072边形的面积，得出更加精确的圆周率3927/1250。虽然这些数据都非常接近圆周率，但是相比于现在，它的精确度是不够的。也是无法由简单的物理测量得到的，况且测量有巨大的误差，因为将圆细分得越多，测量难度越大，误差也就越大。
现代数学的计算方法
虽然上述算法比较粗糙，但不得不说，无限细分的思想方法使用对后面数学的发展非常重要。微积分的发明和使用，圆周率的计算精度也达到了相当的高的地步。通过计算，可以计算小数点后面808位，这已经算是人工计算的最高精度了。
当然，后面计算机的发明和使用，使得圆周率的计算精度又上了一个台阶，2011年，日本通过计算机计算到了小数点后面10万亿位，而不是简单的几亿位了，相信这个纪录会不断的刷新的。
学霸数学
正方形周长和边长的比值是多少？如果考虑测量误差肯定不是4。
世人皆知位数多之精确，不知位数少之精确，几亿位的圆周率还不如4精确。这就是数学和应用的差别。
4就是4，误差为零，把圆周率写到几万亿位也有误差。既然测量有误差，如何能把4之后的无数位小数都精确到零(4.00……)？
世界上没有完美的正方形，测量得不到精确的4，我们用逻辑推测完美的正方形，正方率是4。世界上也没有完美的圆，我们用逻辑推测完美的圆，圆周率是π。
数学来源于现实，但它不等于现实，是逻辑上的想象。永远也画不出长度为1的精确线段，只能把它想象成精确的1。圆周率也是想象，不是现实中的测量，只不过测量的越精确，越接近这个想象。
飞鱼科普
本题的说法，不那么科学。测量误差与测量精度，虽有关系，但不可相提并论。
误差，是一种统计差距或技术缺陷，有可能进一步调整与改进。随机误差，可通过增加样本数量与调整样本分布来改进。系统误差，可通过优化仪器设备与操作技能来改进。
精度，反映在特定参照系下的测量任务，不同的测量对象，需要恰当的测量精度，换句话说，要选择合适的测量单位。
例如：测量类星体距离只能精确到光年(1.5e15m)，测量海岸线长度只能精确到千米(1000m)。测量气缸间隙至少精确到丝米(0.0001m)。
就纯数学而言，有理数与无理数皆可精确到几亿位。圆周率π的精度，有必要到小数点后几亿位么？因π无量纲，到3.1416了不得啦。
有量纲的测量，就值得计较，主要看数量级关系。例如，核外电子的动能Ek=½mv²，势能Ep=mc²，由于v< 又如，测量地球与太阳的距离，不必考虑地球与太阳的半径r与R，直接令r=0，R=0。 综上，误差不要过分大，精度不要过分精。具体问题具体分析，因地制宜才是科学方法。 测量是外业操作，测量的误差受测量方法，测量设备，测量环境，观测人员等多种因素影响，而上面每一项因素又受多种子因素影响，测量的过程就是误差产生的过程，误差只能减少，但不能消除，而圆周率是建造的理论模型计算的，两者没有可比性的。物理新视野
