在直線與圓錐曲線問題中，我們經常會遇到一類中點弦問題，而解決這類問題，我們經常採用“點差法”，“點差法”巧妙地將斜率公式、中點座標公式結合起來，“設而不求”可以大大減少計算量，提高解題速度。確實具有很好的推廣價值和實用性。譬如我們來看一下一道例題。
顯然，點差法在解決中點弦問題時顯示了它獨特的優越性，我們接下來在看一道問題：
但實際上這道題的答案是D，也就是說這樣的直線不存在，為什麼會出現這樣的情況，我們來機一步分析：
我們不妨將直線代入雙曲線方程，驗證，就會發現方程沒有實數根，也就是說，直線和曲線根本就不相交，又怎麼能出現弦呢。可見，這裡對“直線是否與雙曲線有交點”的檢驗是很有必要的。
雙曲線和橢圓的最大的區別是圖形的封閉性，橢圓是完全封閉的，雙曲線是完全開放的。橢圓的內部的任何一個點為中點，總是可以找到對應中點弦，因為它們總是和橢圓有兩個交點（另外拋物線是半封閉的圖形，它內部的點也能做到這一點）。.但是雙曲線則很不容易做到。所以，雙曲線的中點弦經常出現增解。但是從上述解題過程中似乎看不出破綻，為什麼還會出現增解，增解從哪裡產生的呢，怎樣迅速檢驗呢？下面我們依次展開說明。
雙曲線的中點弦方程的增解是不同解變形產生的，也就是說是藉助於了必要不充分條件產生了增根。
我們再看上面的解題過程，
那麼如何迅速檢驗是否產生增解呢？我們知道“點差法”前提是直線與圓錐曲線必須要有兩
個不同的交點，驗證增解的常見的方法是檢驗中點弦所在的直線與圓錐曲線是否有兩個不同的交點，即Δ>0。但是往往因為這樣做太麻煩，而省略了非常必要的一步檢驗。
下面來研究常見的幾種圓錐曲線中中點弦問題的檢驗，從中探索檢驗的規律。
（1）橢圓( 以及拋物線) 內的點為中點，中點弦方程不用檢驗。
我們來一道例題：
（2）雙曲線中點在漸近線和曲線上或它們之間的空隙區域（如圖E、F區域）符合條件的方程都是增解；其它區域內的點（如圖A、B、C、D區域）中點的弦的方程都符合題意。如圖：
我們再來看一道例題：
當然，檢驗時我們可以通過聯立方程組，判斷根的判別式大於0，但方法過於繁瑣，我們可以判斷點的位置，譬如上題，容易判斷點P在區域B內，所以求出的方程不是增根，一定存在。當然我們不一定要這樣寫，你就寫上“經檢驗知，符合題意或者不符合題意”進行了，閱卷教師不一定知道是怎麼來的，但是他知道你檢驗了，而且結果正確。
那麼為什麼雙曲線中點在漸近線和曲線上或它們之間的空隙區域（如圖E、F區域）符合條件的方程都是增解；其它區域內的點（如圖A、B、C、D區域）中點的弦的方程都符合題意。接下來我們進行分析。
從上圖可知，雙曲線與其漸近線分別將平面分為兩部分，其中含有焦點的區域分別叫內
域（區域A、B）與內角域（區域A、B、E、F），不含焦點的區域分別叫外域（區域C、D、E、F）與外角域（區域C、D），顯而易見，內域是內角域的真子集，外角域是外域的真子集。
終於化簡成功了，以上化簡過程耗費了我四張演算紙，嗨！還是有些粗心啊。
也就是說，當弦中點（不在座標軸上）落在漸近線和雙曲線之間的位置（區域E、F不含邊界）時，以該點為中點的弦不存在，此時用點差法求出的直線不符題意，需要捨去，當然，你只需寫上經驗證，不符題意即可；當弦中點（不在座標軸上）落在漸近線和雙曲線之間的位置之外（區域A、B、C、D不含邊界）時，以該點為中點的弦存在，此時用點差法求出的直線符合題意，直接保留，當然，你只需寫上經驗證，符合題意即可。
那麼如果點在落在漸近線和雙曲線之間的位置（區域E、F不含邊界）時，以該點為中點的弦不存在，此時用點差法求出的直線不符題意，這樣的直線是什麼？
我們再觀察區域圖：
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