運用向量破解圓錐曲線中的 夾角與共線問題

1.利用向量解決兩直線的平行或點共線問題

證明兩直線平行有兩種方法:一是利用 共線的充要條件,即當且僅當存在實數 λ,使 =λ 成立;二是利用向量的座標形式,即利用兩個向量 =(x₁ ,y₁ ),=(x₂ ,y₂ )共線的充要條件 x₁ y₂-x₂ y₁ =0 解答,其中, 為兩直線的方向向量.證明三點共線可轉化為兩個向量共線來證明.

運用向量破解圓錐曲線中的 夾角與共線問題

運用向量破解圓錐曲線中的 夾角與共線問題

本題也可以利用兩直線的斜率相等來證明 A₁ B₁∥A₂ B₂,但計算量較大,這就是利用向量法解題的優勢.

2.利用向量解決與角度有關的問題

利用向量的數量積可以判斷這兩個向量的夾角是銳角、直角還是鈍角,進而可以判斷三角形的形狀和點與圓的位置關係.

運用向量破解圓錐曲線中的 夾角與共線問題

運用向量破解圓錐曲線中的 夾角與共線問題

運用向量破解圓錐曲線中的 夾角與共線問題

本題也可以通過利用根與係數的關係確定圓心,然後計算圓心到點 G 的距離並和半徑比較得解,由於要用到兩點間的距離公式,出現根號,解題過程將十分複雜;但利用向量,通過判斷數量積的正負來確定點和圓的位置關係,就不會出現根式,計算量大大減少.本題綜合性較強,全面地考查了學生分析問題、解決問題的能力.


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