[經驗交流] 【學生必讀】數學學習的九個境界


[經驗交流] 【學生必讀】數學學習的九個境界


數學精深訓練有九個臺階。
第一個臺階是能看懂。
第二個臺階是能記住;
第三個臺階是會解題;
什麼是能看懂?能看懂,就是能夠懂得數學定義,定理,公式的來龍去脈。一看到這個定理、公式,腦子裡面盤旋的一些問題,我們一一找到答案,我們要從內心裡面去回答,那麼找到的答案越多,做出來的問答越多,我們就懂得的越多,這就是能看懂的含義。
往往是這一步,使得很多人難以入門,一旦我們做到這一點的話,我們馬上就邁上了第一個臺階,邁上第一個臺階之後,能記住會解題,只要我們把那些最基本的東西給做出來,做一遍,親自動手去算一遍,那麼我們馬上就會跨過第二個、第三個臺階。
這樣的話,考一個及格的分數就不成問題了。有不少人把高數的考研目標定為90分,實際上做完剛才所說的這些,每一章,每一節都這麼去做的話,考90分根本不成問題。
第四個臺階是熟練解題;
在解題的過程中不斷地進行這樣的有意識的思維操作的訓練,那麼熟練解題也為之不遠了。


第五個臺階是會梳理;
什麼是會梳理?剛才已經給大家分享了數學的基本結構是什麼?每一章都在重複同樣的基本結構,把那些知識點都給彙總到這個知識結構裡面,就是會梳理。包括我們每一章都在用什麼樣的運算技巧?大家心裡面有沒有數,這一章我們會用到什麼,什麼樣的運算技巧,能不能1、2、3、4、5、6、7、8,這麼列出來,一是一、二是二的列出來,如果這麼做了,那肯定是會梳理了。
第六個臺階是融會貫通;
什麼是融會貫通?比如導數,是從什麼問題引入的?導數的定義,它的嚴格的定義是什麼?它對應的幾何直觀是什麼?導數怎麼推出導數的四則運算法則?導數的定義和運算法則又有什麼用?能解什麼樣的題目?如果我們一步步這麼做下來的話,那就是融會貫通了,對這一章,這一節融匯貫通了。
第七個臺階是把握數學思維;
什麼是把握數學思維?所謂的數學思維就是一個一個的基本的思維操作,像加、減、乘、除法,各種類型的加、減、乘、除法,像加一項、減一項,像它的定義,為什麼會有這樣的定義?它的問題是什麼?這個定義能解決什麼問題?當我們提這些問題,去找它的答案的時候,按照這樣的思維去訓練的時候,我們就把握數學思維了。

第八個臺階是體驗學習的樂趣;
一旦我們做到前面這幾步的話,那數學的學習自然就有樂趣,設想一下,我們面對一塊黑板或者一張白紙,我們從導數的定義開始做起,一下就把這一套全都寫下來了,不用看參考書,從導數的定義一直推出這個導數的運算法則,解出一些基本函數的導數,然後解出更復雜函數的導數。這裡面能沒有樂趣嗎?當然有樂趣了。而且我們回答了心中的一個又一個的問題,而這些問題呢,它不但可以提高成績,還可以跟其他人來交流,給其他人帶來啟發。
第九個臺階是能夠投入,忘我的學習。
達到第八個臺階就很容易到達第九個臺階了,就是樂此不疲,我們稱之為心流,flow。我們這樣子學習三個小時的數學,感覺時間才過了半個小時一樣。
四、五、六、這個臺階邁上去,那麼我們數學考個優秀的成績,考個120分,就不是問題了,如果我們到達了這七、八、九,這三個境界,那麼考更高的成績,像我剛才那個師弟講的,考130分,140多分,那就是完全有可能的了,因為你都覺得數學學習都不是負擔了,不是障礙了,不是痛苦而是享受了,解道難題會帶來巨大的樂趣啊。
讀不懂數學怎麼辦?

[經驗交流] 【學生必讀】數學學習的九個境界


如果我們到了現在還覺得數學不太容易懂,高數書看起來很頭疼,我們往下看看個例子。
我們看一下小平邦彥的故事,小平邦彥是亞洲第一獲得菲爾茲獎的數學家,小平邦彥經常說自己天資不好,但是他從中學開始,就是那種做事情一絲不苟,全身心投入的人。他回憶自己第一次學習範德瓦爾登的《代數學》,幾乎學不懂;然後就開始抄書,一直到抄懂為止。對於這樣的一個大數學家,他在數學學習的初期,也遇到了巨大的困難,看書看不懂。所以我們經常說,看書看得很吃力,很費勁,這實際上本質上根本就不是個問題。那這個故事給你什麼啟發呢?
有人說“勤能補拙”,沒錯,我也是這麼想的;還有的說“貴在堅持”,也沒錯,這也是這個故事所傳達出的一個重要信息貴在堅持;有的也可能是說“不懂就要抄書”,至少抄書是個方法。還有人說“理解為王”,這也是這個故事講的一個非常重要的一點,從幾乎學不懂,然後最後到懂為止。
就理解很重要,我們對一個我們不理解的東西,怎麼能心生樂趣呢?學問的樂趣就在於解惑,不斷的解惑,這個解惑過程中產生的樂趣,如果我們一直不懂它,自己都認為不懂,那這個樂趣很難產生啊。


那麼往下,跟大家分享一下,我對這個故事的啟發

[經驗交流] 【學生必讀】數學學習的九個境界


這故事不斷在給我新的啟發。
首先抄書能抄出數學家嗎?如果抄書能抄出數學家的話,那滿大街都是數學家了。他肯定是帶著問題抄書,邊抄邊解答,直到懂為止,有了足夠多的解答,就自然就懂了。他心裡面的困惑都一一找到了答案,有一些是書上提示的答案,有一些是他根據書上的提示自己獨立推導出來的答案,想出來的答案,那麼就自然懂。


第二是,我們學習數學,必定需要紮實的基本功,這個基本功是什麼?就是剛才講的那個基本的思維技能,但可惜的是許多人不曾掌握這個思維技能,甚至都沒有意識到,我們在做數學的過程中,在不斷進行同樣的思維操作,那個思維操作就是:基本的問答,不斷在做問答,不斷地在做加、減、乘、除法,不斷地在從問題到定義,到定義的性質,到運算法則,到定理,到定理的應用去解題目,不斷地在進行這樣的或大或小的思維操作,這些思維操作,就是數學思維的基本的技能,也就是我們學數學的基本功。
第三點是,任何技能的學習,任何技能的掌握,必定是先慢後快,我們想這個,小平邦彥去抄書,如果他一本本地去抄,當但數學的文獻浩如煙海,經典著作多得不得了,他如果都是這麼慢慢的抄的話,那得抄到何年何月?正因為他抄的過程中,他不斷地去熟悉和訓練自己的思維技能,任何數學分支都有同樣的結構,一旦熟悉這個技能,那就熟能生巧了。
反之,一旦我們前面的東西沒掌握,認為它很簡單,認為它很顯然,認為它不值得一做,很可能在遇到那個考研題目的時候,我們都沒有解題思路,甚至瞭解題思路,我們做不對,做不出來,

[經驗交流] 【學生必讀】數學學習的九個境界


還有這麼幾個啟發。
第一,不要糾結於有沒有天資,除非努力過。即便是小平邦彥,他學數學的初期,仍然遇到很大的困難,我們在學高數的過程中,遇到困難的時候,看不懂的時候,題目做不出來的時候,經常會自我懷疑,是不是我數學真的就不行啊?我沒有數學思維啊?
不是,不是那樣子的。認知神經科學的研究表明,我們天生下來就有數學思維。嚴格的論證,之後跟大家來分享一下。不要再糾結這個問題了,除非我們努力過。連這樣的數學家都做過這樣的努力,那我們,我們問問自己,我們有沒有做過這個與之相,相當的這個努力。


第二,“如果世界上有奇蹟,那隻不過是努力的代名詞”,我們能解一道題目,中等難度的題目,只不過是由那些基本的知識點,那些基本的思維操作所導出來的。一道更難的題目也是一樣的,我們解了一道很難的題目,會感到驕傲,感到是個奇蹟,那隻不過是我們以前以往點點滴滴的努力累積出來的,就是像積分一樣,一點一點的積累出來的。
第三,沒有絕對懂與不懂,關鍵是我今天有沒有懂得更多。我今天懂了多少,我今天究竟懂了什麼?我今天找到了哪些問題的答案,這是關鍵。包括我們在做一道題目的時候,我做錯了,做錯的話,我有什麼收穫?我做對了,也要問自己究竟收穫了多少?一是一,二是二,三是三,我們有沒有這麼去做?這樣做非常關鍵。


分享到:


相關文章: