說在前面:
這是美國數學家 John Baez 在他的網頁上貼出來的一篇文章,很快引起了許多人的興趣。標題中的“根”是指數學中一個多項式的解。
如果你還沒有忘光你的高中數學課,就應該知道下面這兩個事實:任何一個多項式在複數域中必有根,並且每個複數都可以在複平面上對應於一個點。
這樣,給定一系列多項式,我們就可以把它們的根都畫在複平面上,從而形成一些特定的圖案。
請放心,即使你對多項式毫不瞭解,也不會妨礙你欣賞這些圖案之美的。
也許你曾經聽說過經典的曼德布洛特集合(Mandelbrot set),那你很容易就能在這裡看到某些相似之處。
所不同的是,人們對這些新的圖案還所知甚少。
下面所有括號中的文字都是我所添加,以幫助不熟悉複平面的朋友瞭解所說那些的點的位置。
模友可以去查看原圖:
http://math.ucr.edu/home/baez/roots/deg5.png
我的朋友 Dan Christensen 發現了一幅令人讚歎的圖畫(見上圖)。它是由所有係數為 -4 到 4 之間的整數的 5 次以下多項式的根在複平面上的對應點構成的。
超模君再放大一點
圖中,二次多項式的根是灰色的,三次多項式的根是青藍色的,四次多項式的根是紅色的,五次多項式的根是黑色的。
橫軸是實軸,縱軸是虛軸,中間的大洞的中心是原點。
兩側小一點的洞的中心是 ±1,在 ±i 處和 1 的所有六個虛根出也各有一個小洞(即中間那個大洞上下不遠處對稱的那些小洞)。
你可以在這裡看到許多迷人的圖案,給人的感覺是這些整係數多項式的根
如果你把圖案放大,可以看到更多細節:
在這裡你可以看到,在 1 這個點所在的空白區域周圍環繞著一些美麗的羽毛,在 exp(iπ/3) 這個點周圍有一個六瓣的星形(即左上角那個梅花形狀的洞),還有一條奇特的紅色連線把這兩個點連接起來,還有很多其他的點周圍的星形的洞,諸如此類。
人們應該開始研究這些東西才對!
讓我們把所有係數為 -n 到 n 之間的整數的 d 次以下多項式的全體根構成的集合稱為 Christensen 集 Cd,n。
很顯然當 d 和 n 越大, Cd,n 這個集合就越大,並且當 n 趨於無窮大時這個集合趨於佈滿全複平面。
如果固定 d, 令 n 趨向於無窮大,那麼我們就能得到全體有理複數;如果令 d 和 n 同時趨於無窮大,那麼我們就能得到全體代數複數。
於是一個有趣的問題就是,如果我們固定 n,令 d 趨於無窮大,會得到什麼呢?
在上面這些圖片的鼓舞下,Sam Derbyshire 決定繪製一些分辨率更高的多項式根的圖片。
試驗了幾次之後,他覺得他最喜歡的是係數為 ±1 的多項式。
他把所有 24 次以下的這樣的的多項式的根繪製成一副高清晰度的圖片,這些多項式一共有 224 個,其根大約共有 24 × 224 個,也就是大約四億個。
他用 mathematica (一個數學軟件)花了大概四天時間才計算出所有這些根,得到了大約 5G 的數據。
然後他用 Java 語言生成了這幅美妙的圖案:
顏色表示根的密度,從黑色到暗紅色到黃色再到白色。上圖是低分辨率版本,我們打開原圖可以放大一點看到更多細節:
http://math.ucr.edu/home/baez/roots/polynomialrootssmall.png
請注意單位根周圍的那些小洞,還有圓弧內部的那些羽毛。
為了更清楚地觀察,我們把下面這些標記出來的區域放大:
這裡是 1 這個點處的那個洞。(即上面最右邊那個標記出來的區域。)
中間那條白線是實軸。這是因為有非常多的多項式根都是實數。
然後這裡是 i 這個點處的洞。(即最上面那個標記區域。)
這是 exp(iπ/4) 這個點周圍。(差不多位於 1 和 i 正中央。)
請注意,根的密度在接近這個點的時候會變大,然後又突然變小。可以看到這些密度所形成的微妙的圖案。
但是更漂亮的是當我們來到單位圓內部時的那些羽毛狀圖案!
這裡是實軸附近的樣子,這個圖的中心位於 4/5 點處。(右邊數第二個標記區域。)
在 (4/5)i 點處的樣子就截然不同了。(從上數第二個標記區域。)
但是我覺得最漂亮的還要說是 (1/2) exp(i π / 5) 這個點周圍的區域。(剩下的那個標記區域。)
這幅圖生動的展示出,在我們的數學研究中,規律性是如何從一團混沌中逐漸成型的,就像從薄霧中隱約顯現出來一樣。
這裡有太多東西需要解釋了,每幅圖片都至少需要一兩個定理來描述。
如果模友想看到更多的這類結果,可以參見:
Dan Christensen,整係數多項式的根的圖案:
http://jdc.math.uwo.ca/roots/
或者直接去看作者John Baez的英文全文,裡面還有更豐富的後續內容(
超模君相信模友的英語水平是可以的):
http://math.ucr.edu/home/baez/roots/
http://songshuhui.net/archives/23604
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