歐拉公式指歐拉關於複數的公式:
相信大家非常熟悉,而對Hamilton四元數可能就比較陌生了。
這裡先簡要介紹一下。
Hamilton四元數
Hamilton四元數是一種超複數,由英國數學家Hamilton發明。複數是由實數加上虛數單位i 組成,其中i^2 = -1。 類似地,四元數都是由實數加上三個虛數單位 i、j、k 組成,一般可記為
a表示q的標量部分,v=bi+cj+dk,表示q的向量部分。所以簡單地說,四元數就是”1維實數+3維向量“的組合。
四元數的運算
四元數本身很好理解,稍微麻煩一點的是關於q的二元運算,包括加法和乘法兩種運算。加法和通常意義上的加法一樣。因為在複數i的基礎上,又引入了j和k,所以乘法需要考慮這些新元素之間的運算關係。乘法則具有如下規則:
若
則根據前面的運算規則,有
“.“和”ד表示通常意義上的向量的數量積(點乘)和矢量積(叉乘)。很神奇的計算結果,一個運算同時包含了向量的點乘和叉乘。
特別地,若a=0,則
容易知道,該乘法運算滿足結合律但不滿足交換律。
當四元數q的向量部分只有一個分量時(bi+cj+dk,b,c,d中有兩個數等於0),四元數退化成通常意義上的複數,滿足複數的所有運算性質。
舉個運算的例子:
廣義歐拉公式
現在,我們來討論歐拉公式在四元數上地推廣,也就是:
看到這樣一個指數表達式,該如何下手呢?
一切函數都是多項式。考慮指數函數的泰勒展開:
表達式是關於q的冪次。先考慮簡單的情形,a=0,即q只包含向量部分。於是
從而
對比歐拉公式
兩者的相似性顯而易見。當q只包含一個向量分量時,關於四元數的歐拉公式就退化成了經典的歐拉公式。
最後,討論一下當a≠0的情形。容易驗證,標量和任何四元數都滿足乘法交換律和結合律。
從而
也就是歐拉公式在四元數上最一般的形式。