專題四 平面向量的數量積
1.平面向量的數量積
例 1:(1)四邊形 ABCD中, 1BC , 2AC , 90ABC , 90ADC ,則 AC BD 的
取值範圍是___________
變式 1:在直徑 AB 為 2 的圓上有長度為 1 的動弦CD,則 AC BD 的取值範圍是________
變式 2:如圖,邊長為 1 的正三角形 ABC 的頂點 A , B 分別在 x軸, y 軸的正半軸上滑動,
則OC AB 的取值範圍是___________.
(2)在平行四邊形 ABCD中,| | 2AD ,| | 4CD , 60ABC ,E ,F 分別是 BC ,CD
的中點, DE 與 AF 交於H ,則 AH DE的值為__________
變式:在斜三角形 ABC 中,6
3AC AB ,D 是 BC 中點,E 在 AB 邊上, 2AE BE ,AD
與CE 交於點O ,若 AB AC AO EC ,則 .
(3)若 ABC 外接圓圓心為O ,半徑為 4,且 2 2 0OA AB AC ,則CA CB 的值為____
變式:如圖,在平面四邊形 ABCD中,AD BD ,AC BC ,且 2AD , 5AC ,則 AB DC
的值為 .
2. 向量的幾何意義
例 3:已知平面向量 a ,b ,c 滿足對任意 x R 都有 | | | |a xb a b ,| | | |a xc a c 成
立, | | | | 1a c b c , | | 3a b ,則 | |a 的值為__________
變式:已知 ,a b 是平面內兩個互相垂直的單位向量,若向量 c 滿足1
| |2
c a ,則
| | 2 | |a b c c b 的最小值為 .
例 4:已知點O 是 ABC 內部一點,並且滿足 2 3 0OA OB OC , BOC 的面積為 1S ,
ABC 的面積為 2S ,則1
2
S
S _________
變式 1:如圖所示,點G 是 ABC 內一點,若 7AGBS , 5BGCS , 6AGCS ,
且 AG xAB yAC ,則 x y ___________
變 式 2 : 在 ABC 中 , 4AB , 5AC ,3
BAC
, H 為 ABC 內 一 點 ,
: : 2 : 3 : 5HAB HCB HACS S S ,則 HA HC .
變式 3:若O 是 ABC 垂心,6
A
且 sin cos sin cos 2 sin sinB C AB C BAC m B C AO ,則
m ____________
變 式 4 : 已 知 O 為 銳 角 三 角 形 ABC 的 外 接 圓 的 圓 心 , tan 2A , 若
cos cos2
sin sin
B CAB AC mAO
C B ,則m 的值為___________
變式 5:已知 ABC 的內角 A 、B 、C 的對邊分別為 a、b 、c ,且7
cos8
A ,I 為 ABC 內
部的一點,且 0aIA bIB cIC ,若 AI xAB yAC ,則 x y 的最大值為________