一、定比分點
若
當
當
定比分點座標公式：若點，，，則點的座標為
二、點差法
點差法其實可以看作是方程的相減，是對方程的一個巧妙的處理。
若點在有心二次曲線
上，則有
兩式作差得
此即有心二次曲線的垂徑定理，可以解決與弦的中點相關的問題．
1、弦的中點
點差法一個妙用：
例1 已知橢圓 ，直線 交橢圓於 兩點， 為 的中點，求證： 為定值。
分析 用常規方法設直線也可以解決，但是計算就很繁雜，在這裡使用點差法。
解 設 ， ，
在橢圓上： ，
作差得：
即： ，
因為
所以 ，為定值。
以上結論與弦的中點有關，也稱為垂徑定理。
考慮當橢圓為圓的時候， ，則 ， ，正好也符合圓的“垂徑定理”。
在雙曲線中 同樣有類似的結論，但定值為 ，在這裡就不再推導了。
2、弦上的定比分點
當弦上的點不再是中點時，就成了定比分點：
設 ， ， ，則 點座標可以表示為：
，
證明 設 ， ，化簡可得：
，同理
這時候就出現了 這樣形式的式子。
如果再湊出 ，可能大家就會有點感覺了：
可以將橢圓的方程乘上一個 再作差，得到這樣的式子。
因此我們想到了“定比點差法”這樣的技巧。
例2 已知橢圓 ， 在橢圓外，過 作直線 交橢圓於 兩點， 在線段 上且滿足： ，求證：點 在定直線上。
分析 按照以上思路，要出現 和 這樣的式子，很容易想到設 的座標，再表示出 的座標。
解 設 ， ， ，
則 ，結合圖形得：
則 ，
在橢圓上： ①， ②
得：
即
，所以 在定直線 上。
下面介紹定比點差法：
若點在有心二次曲線上，則有
兩式作差得
這樣就得到了
例7、過異於原點的點
證明：直接運用定比點差法即可．
設，則有
例8、已知橢圓
解析：設，，則
．
於是
，於是
又因為點在橢圓上，所以有
兩式相減得
將(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
從而解得的取值範圍為
，於是的取值範圍為
．
例9、設
證明：設，，，則
例10、已知橢圓
解析：因為
設，，則