線性代數里面相似矩陣的定義是說,一個矩陣A,另一個矩陣B,如果A和B是相似矩陣,則必存在一個可逆矩陣M,是的A和B滿足下列關係
B=M'*A*M(即M逆乘以A乘以M)
那麼這麼一個定義顯然不容易看不出A和B的特殊關係,既然是相似矩陣,A和 B 之間總得有點不一樣的關係吧?
這個不一樣的關係就是A和B擁有同樣的特徵值,設為L(實際教科書裡是蘭姆達,但是不好輸入,這裡用L代替。)
證明的方法很巧妙:
特徵值和特徵向量和矩陣的關係是這樣:
設x是矩陣A的特徵向量,則 A*x=L*x, L是個數值,x是一個向量,A是個矩陣。
如果B是A的相似矩陣,L也是B的特徵值。
第一步: A*M*M'*x=L*x 左側加入M*M'=I 等於什麼也沒加入。
第二部:等式兩邊左乘M' M'*A*M*M'*x=L*M'*x
第三部: 帶入B, B*M'*x=L*M'x M'*x是一個向量,根據特徵值和特徵向量的關係,則L是B的一個特徵值,而M'*x是B的一個特徵向量。