一、換元法
在問題解決中，引入一個或幾個新“元”代換問題中的舊“元”，使關於新元的問題能夠解決；解決以後再將結果反演回去，得出舊元問題的結果，這種方法叫做換元法，也叫代換法。
“元”可以是任何意義下的基本元素，如未知數、變量、常量、幾何元素等，也可以是一個整體，如代數式、圖形等。本節來介紹下在解題過程中常用到的三種換元法。
第一換元法（舊式換為新元）
模式： f [ ψ(x) ] = f ( u ) ，其代換為 ψ(x) = u .
例題1、已知
例題1圖（1）
解：將已知等式改寫為
例題1圖（2）
注：解題的關鍵是能把 t^2 + 1/t^2 湊成 t + 1/t 的表達式，所以這是湊法換元 。
例題2、求函數
例題2圖（1）
解：
例題2圖（2）
注：由函數 y = f ( x ）換元為 y = ψ（u），不但轉換解析式也要注意轉換定義域。
第二換元法（舊元換為新式）
模式： f（x）= f [ ψ（u）] ，其代換為 x = ψ(u) .
在方程的觀點上，第二換元法是把方程 y = f ( x ) 化為參數方程 ： x = ψ(u) ，u = f（u）, （u為參數）。
例題3、解不等式
例題3圖（1）
解：
例題3圖（2）
注：這是正切代換，遇見 √（1+t^2），可作代換 t = tanθ , θ∈（-π/2 ，π/2），其中 θ 的範圍必須設出，保證代換是等價的。
例題4、求函數
例題4圖（1）
解：函數的定義域是 [-1/2 ，0 ）∪ （0 ， 1/2 ] ，
例題4圖（2）
注：這是正弦代換，遇見 √（1-x^2），可作代換 x = sinθ , 或 x = cosθ，要根據 x 的範圍確定 θ 的範圍 。
第三換元法（舊式換為新式，及廣義換元）
例題5、求函數
例題5圖（1）
解：
例題5圖（2）
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