多圖預警！
說在前面：
這是美國數學家 John Baez 在他的網頁上貼出來的一篇文章，很快引起了許多人的興趣。標題中的“根”是指數學中一個多項式的解。
如果你還沒有忘光你的高中數學課，就應該知道下面這兩個事實：任何一個多項式在複數域中必有根，並且每個複數都可以在複平面上對應於一個點。
這樣，給定一系列多項式，我們就可以把它們的根都畫在複平面上，從而形成一些特定的圖案。
請放心，即使你對多項式毫不瞭解，也不會妨礙你欣賞這些圖案之美的。
也許你曾經聽說過經典的曼德布洛特集合（Mandelbrot set），那你很容易就能在這裡看到某些相似之處。
所不同的是，人們對這些新的圖案還所知甚少。
下面所有括號中的文字都是我所添加，以幫助不熟悉複平面的朋友瞭解所說那些的點的位置。
模友可以去查看原圖：
http://math.ucr.edu/home/baez/roots/deg5.png
我的朋友 Dan Christensen 發現了一幅令人讚歎的圖畫（見上圖）。它是由所有係數為 -4 到 4 之間的整數的 5 次以下多項式的根在複平面上的對應點構成的。
超模君再放大一點
圖中，二次多項式的根是灰色的，三次多項式的根是青藍色的，四次多項式的根是紅色的，五次多項式的根是黑色的。
橫軸是實軸，縱軸是虛軸，中間的大洞的中心是原點。
兩側小一點的洞的中心是 ±1，在 ±i 處和 1 的所有六個虛根出也各有一個小洞（即中間那個大洞上下不遠處對稱的那些小洞）。
你可以在這裡看到許多迷人的圖案，給人的感覺是這些整係數多項式的根在竭力避開那些整點和單位根似的，──除非這些整點和單位根本身就是多項式的根。
如果你把圖案放大，可以看到更多細節：
在這裡你可以看到，在 1 這個點所在的空白區域周圍環繞著一些美麗的羽毛，在 exp(iπ/3) 這個點周圍有一個六瓣的星形（即左上角那個梅花形狀的洞），還有一條奇特的紅色連線把這兩個點連接起來，還有很多其他的點周圍的星形的洞，諸如此類。
人們應該開始研究這些東西才對！
讓我們把所有係數為 -n 到 n 之間的整數的 d 次以下多項式的全體根構成的集合稱為 Christensen 集 Cd,n。
很顯然當 d 和 n 越大， Cd,n 這個集合就越大，並且當 n 趨於無窮大時這個集合趨於佈滿全複平面。
如果固定 d, 令 n 趨向於無窮大，那麼我們就能得到全體有理複數；如果令 d 和 n 同時趨於無窮大，那麼我們就能得到全體代數複數。
於是一個有趣的問題就是，如果我們固定 n，令 d 趨於無窮大，會得到什麼呢？
在上面這些圖片的鼓舞下，Sam Derbyshire 決定繪製一些分辨率更高的多項式根的圖片。
試驗了幾次之後，他覺得他最喜歡的是係數為 ±1 的多項式。
他把所有 24 次以下的這樣的的多項式的根繪製成一副高清晰度的圖片，這些多項式一共有 224 個，其根大約共有 24 × 224 個，也就是大約四億個。
他用 mathematica （一個數學軟件）花了大概四天時間才計算出所有這些根，得到了大約 5G 的數據。
然後他用 Java 語言生成了這幅美妙的圖案：
顏色表示根的密度，從黑色到暗紅色到黃色再到白色。上圖是低分辨率版本，我們打開原圖可以放大一點看到更多細節：
http://math.ucr.edu/home/baez/roots/polynomialrootssmall.png
請注意單位根周圍的那些小洞，還有圓弧內部的那些羽毛。
為了更清楚地觀察，我們把下面這些標記出來的區域放大：
這裡是 1 這個點處的那個洞。（即上面最右邊那個標記出來的區域。）
中間那條白線是實軸。這是因為有非常多的多項式根都是實數。
然後這裡是 i 這個點處的洞。（即最上面那個標記區域。）
這是 exp(iπ/4) 這個點周圍。（差不多位於 1 和 i 正中央。）
請注意，根的密度在接近這個點的時候會變大，然後又突然變小。可以看到這些密度所形成的微妙的圖案。
但是更漂亮的是當我們來到單位圓內部時的那些羽毛狀圖案！
這裡是實軸附近的樣子，這個圖的中心位於 4/5 點處。（右邊數第二個標記區域。）
在 (4/5)i 點處的樣子就截然不同了。（從上數第二個標記區域。）
但是我覺得最漂亮的還要說是 (1/2) exp(i π / 5) 這個點周圍的區域。（剩下的那個標記區域。）
這幅圖生動的展示出，在我們的數學研究中，規律性是如何從一團混沌中逐漸成型的，就像從薄霧中隱約顯現出來一樣。
這裡有太多東西需要解釋了，每幅圖片都至少需要一兩個定理來描述。
如果模友想看到更多的這類結果，可以參見：
Dan Christensen，整係數多項式的根的圖案：
http://jdc.math.uwo.ca/roots/
或者直接去看作者John Baez的英文全文，裡面還有更豐富的後續內容（
超模君相信模友的英語水平是可以的）：
http://math.ucr.edu/home/baez/roots/
http://songshuhui.net/archives/23604
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