一、什麼是最短路徑問題？
關於“兩點的所有連線中，線段最短”，“連接直線外一點與直線上各點的所有連線中，垂線段最短”等的問題，
我們稱它們為最短路徑問題。
解決最短路徑問題，通常利用作垂線段、軸對稱等變換，把實際問題中的最短路徑問題轉化為簡單的幾何問題 。
例題1、如圖所示，點 P 是直線 L 外一點，PC⊥L ，點 A , B , C , D 都在直線 L 上 ，下列線段中最短的是 （C）
A、PA B、PB C、PC D、PD
例題1圖
例題2、如圖所示，已知直線 L 是一條河 ，點 P 、 Q 是兩個村莊。欲在 L 上的某處修建一個水泵站，向 P 、Q 兩地供水，現有如下四中鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是 （D）
例題2圖
二、知識點演練
1、運用“垂線段最短”解決最短路徑問題
例題3、如圖 ，AD 是等邊 △ABC 的邊 BC 上的高 ，AD = 6 ，點 M 是 AD 上的動點，點 E 是 AC 邊上的中點，則線段 EM + CM 的最小值是多少？
例題3圖
答案：當 EM + CM = CF = AD = 6 時（此時 CF 為 AB 邊上的高） ， EM + CM 取最小值 6 。
2、運用“兩點之間線段最短”解決最短路徑問題
例題4、如圖，已知 MN 是正方形 ABCD 的一條對稱軸，點 P 是直線 MN 上的一個動點 ，當 PC + PD 最小時，求 ∠PCD 的度數 。
例題4圖
答案：∠PCD = 45° （此時 △PCD 為等腰直角三角形）
例題5、如圖，在 △ABC 中，AB = AC ，AD 平分 ∠CAB ，點 N 是 AB 上一定點，M 是 AD 上一動點 ，要使 MB + MN 最小，請回答點 M 應在什麼位置？
例題5圖
答案：連接 CN 交 AD 於點 M ，則交點 M 為所求點的位置 。
理由：
∵ 在 △ABC 中，AB = AC ，AD 平分 ∠CAB，
∴ AD 為線段 BC 的垂直平分線， ∴ MC = MB
∴ MB + MN = MC + MN = CM 。
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