什麼是完全平方數？
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。
完全平方數性質：
完全平方數特徵：
例題一、一個數減去100是一個平方數，減去63也是一個平方數，問這個數是多少？
解：設這書減去63為A²，減去100為B²
則A²- B²=(A+B)(A-B)=100-63=37×1，
可知A+B=37，且A-B=1,所以A=19,B=18
這樣這個數為18²+100=424或19²+63=424
例題二、一個自然數減去45及加上44都是完全平方數，求此數。
解：設此自然是為X，依題意可得
X-45=M²
X+44=N²
N²-M²=89
(N+M)(N-M)=89=89×1
可知N+M=89，N-M=1,所以M=44,N=45
這樣這個數為44²+45=1981或45²-44=1981
練習題：
n是正整數，3n+1是完全平方數，證明：n+l是3個完全平方數之和．
解析： 此題可以由3n+1為完全平方數得到3n+1=m2，則m=3k+1或3k+2，再得到n的值，代入n+1經變形即可證為3個完全平方數之和．
一個正整數，如果加上100是一個平方數，如果加上168，則是另一個平方數，求這個正整數．
解析：所求正整數為x，引入參數m和n分別表示這兩個完全平方數，然後利用奇偶性分析求解．
自然數n減去52的差以及n加上37的和都是整數的平方，則n=？
解析：設n﹣59=a2，n+30=b2，則存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89，根據奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．
已知x+y=4，且x-y=10，則2xy=？
解析： 把原題中兩個式子平方後相減，即可求出xy的值．
已知4x2+4mx+36是完全平方式，則m的值為？
解析：這裡首末兩項是2x和6這兩個數的平方，那麼中間一項為加上或減去2x和6積的2倍．
已知x+y=-5，xy=6，則x²+y²的值是？
解析：先把所求式子變形為完全平方式，再把題中已知條件代入即可解答．
小明計算一個二項式的平方時，得到正確結果a²-10ab+■，但最後一項不慎被汙染了，這一項應是？
解析:根據乘積二倍項找出另一個數，再根據完全平方公式即可確定
已知a+b=3，a³+b³=9，則ab等於？
解析：根據條件a+b=3，兩邊平方可求得a²+b²=9﹣2ab，再把條件a³+b³=9展成（a+b）和ab的形式，整體代入即可求得ab的值．
如果多項式p=a²+2b²+2a+4b+2008，則p的最小值是？
解析：把p重新拆分組合，湊成完全平方式的形式，然後判斷其最小值．
什麼是完全平方數？大家看明白了沒！
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