1859年，黎曼在一篇名為《論小於給定數值的素數個數》的論文中提出了關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分佈的猜想，即著名的黎曼猜想。幾十年後數學大師希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，即著名的希爾伯特23問題。而其中第八個便是黎曼猜想。如今克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute)大獎懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼猜想。時至今日，黎曼猜想被公認是數學界最重要的猜想，其重要性超過費馬大定理和哥德巴赫猜想。
黎曼深思熟慮後發現，黎曼ζ函數的零點緊密聯繫著素數分佈的規律，尤其是那些函數的零點。於是黎曼大膽猜測，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上，也即：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上，簡單來說，就是方程複數解的實部都是1/2。時至今日，人們利用計算機驗證過超10萬億個解，它們均符合猜想，從未出現過反例。
在黎曼猜想提出後的一百多年時間裡，無數數學家投身於研究之中，然後從未出現過數學界公認的證明。但即使猜想並未獲證，這一百多年的研究歷程也成了一部波瀾壯闊的歷史。
在這個過程中，首先得到重要結果是解不會出現在帶狀區域的邊界上，只能在內部，而所有的解分佈在一個帶狀區域內是容易證明的。這個成果是由法國數學家阿達瑪 (Hadamard) 和比利時數學家普森 (Poussin) 在1896年分別獨立證明。然而這離真相還實在太遠。
第一個實質性的突破由著名英國數學家哈代在1914年取得，他證明了黎曼 ζ 函數有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。時隔七年之後，哈代與他的親密合作者--數學家李特伍德也只是僅僅證明了這無窮多個解在所有的解中佔比為0，可謂此無窮非彼無窮。然而這卻啟發了後人去探索解的佔比問題。如今，解的佔比已被證明至少為40%，雖然推進艱難，但比例仍在被數學家們不斷提高。
據不完全統計， 在今天的數學文獻中已經有超過一千條的數學命題是以黎曼猜想 (或其推廣形式) 的成立為前提的，也就是說，黎曼猜想如果成立，那麼將直接導致一千多個結論的成立，這是何等的壯舉！僅憑這一點，就沒有其他的數學猜想可以與之匹敵。舉例來說，艱深異常的素數定理也僅僅是黎曼猜想的一個簡單推論而已。
比較有意思的是，幾年前有消息說尼日利亞教授奧派耶米伊諾克(OpeyemiEnoch)成功解決黎曼猜想，然而克雷數學研究所既不證實也未否認伊諾克博士到底是否解決了這一問題，學術界亦如此。鑑於猜想的重要性與難度，多數人對於證明的正確性保持懷疑，但無人站出來指出錯誤之處。
黎曼猜想的徹底解決將成為數學史上最偉大的豐碑，希望吾輩將有幸見證這一歷史性時刻！
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