原題:四位數aabb 為一個正整數的平方,求a+b=?
本題採用多三種方法講解,看看大家喜歡哪種
黃老師再次強調,不管你用什麼方法,在時間允許的情況下,你只採用你最喜歡、最擅長的方法。
此題必備知識點:
如aabb之類的數,一定能被11整除,整除結果為a0b;
如aaabbb之類的數,一定能被111整除,整除結果為a00b;
如aabbcc之類的數,一定能被11整除,整除結果為a0b0c;
另外:
如abab之類的數,一定能被101整除,整除結果為ab;或一定能被ab整除,整除結果為101;
如abcabc之類的數,一定能被1001整除,整除結果為abc;或一定能被abc整除,整除結果為1001;
解1:
我們知道四位數aabb一定能被11整除,且整除得到的商為a0b,所以可以寫成:
aabb=11×a0b
考慮到aabb是一個完全平方數,所以a0b一定能被11整除,根據能被11整除數的性質,可知:
a+b=11,(0不符合題意,不考慮)
此題可解!
被11整除數的性質見筆者以前課程:
解2:
根據解1,我們知道:aabb=11×a0b
考慮到aabb是一個完全平方數,所以aabb一定能被11的平方121整除,整除結果可設為m,根據題意,可知m為一個完全平方數;
所以可寫成:aabb=121×m
同時,考慮到m乘以121的取值範圍為1100至9999,所以m的取值只能為:9,16,25,36,49,64,81等7個。
我們只需要試一下121×9,16……等數得到的結果是否滿意aabb的形狀即可。
121×9=1089,不符,舍;
121×16=1936,不符,舍;
121×25=3025,不符,舍;
121×36=4356,不符,舍;
121×49=5929,不符,舍;
121×64=7744,正確;
121×81=9801,不符,舍。
解3:
根據解1,我們知道:aabb=11×a0b,考慮到aabb是一個完全平方數,所以aabb一定能被11的平方121整除,即a0b一定能被11整除,且商為完全平方數。
根據數位原理,a0b=100×a+b=99×a+a+b,
我們知道:99×a一定能被11整除,如想讓a0b能被11整除,還需要a+b能被11整除,所以a+b=11.(0不符合題意,不考慮)
朋友們,三種方法,你們喜歡用哪種呢?
但如果要求出a和b的具體數值,可能只有方法2可求,但也稍顯麻煩,筆者再給出一個方法:
因為aabb是完全平方數,個位b只可能是0,1,4,5,6,9,再結合解1和解2,同時滿足a+b=11,
所以,a與b可能的組合如下:
a=7,b=4,aabb=7744,a0b=704,a0b÷11=704÷11=64,64為完全平方數;
a=6,b=5,aabb=6655,a0b=605,a0b÷11=605÷11=55,55非完全平方數,舍;
a=5,b=6,aabb=5566,a0b=506,a0b÷11=506÷11=46,46非完全平方數,舍;
a=2,b=9,aabb=2299,a0b=209,a0b÷11=209÷11=19,19非完全平方數,舍。
完美求出a與b具體值!
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