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作者 | 蔡天新
世界盃正如火如荼地首次在廣袤的俄羅斯大地舉行，六十四場比賽在十一座城市的十二個體育場依次進行。中國中央電視臺全程直播，設在紅場的演播室，賽場內的中文商業廣告、來自全國各地的球迷和性感的足球寶貝，應有盡有，馬雲、張近東等商界名流雲集。如同著名主持人白巖松所言，“除了中國足球隊，中國其他該去的都去了”。
這十一座舉辦城市幾乎全部都在歐洲，其中首都莫斯科擁有兩座比賽場地，包括可以容納八萬多人的盧日尼基體育場。盧日尼基在俄語裡的本意是草坪，該體育場坐落在莫斯科河的拐彎處。歷史上它曾叫做列寧體育場，既是1980年莫斯科夏季奧運會的主場地，也是2008年歐洲冠軍盃決賽的比賽地，本屆世界盃的揭幕戰和決賽均在此舉行。
除了莫斯科和聖彼得堡，其他九座城市的知名度似乎不是很高。可當我仔細辨認，驚訝地發現，這些舉辦城市多數與數學有緣。讓我們先來看俄羅斯城市的雙子星座——莫斯科和聖彼得堡，它們分別誕生了兩個舉世聞名的數學學派——莫斯科學派和彼得堡學派，合起來僅菲爾茲獎得主就有兩位數。
早在1725年，彼得大帝和他的皇后葉卡捷琳娜一世便創辦了彼得堡科學院，邀請了瑞士著名數學世家貝努利家族的兩位成員，還有他們的同胞、18世紀最偉大的數學家萊昂拉多·歐拉，他在20歲那年踏上俄羅斯的土地，在那裡度過了一生的大部分時光，直至去世。兩年前，我造訪聖彼得堡時，曾專程去歐拉的墓地拜謁。可是，我卻無緣見到那位因證明龐加萊猜想的傳奇數學家佩雷爾曼。
歐拉之墓/作者攝於聖彼得堡
除了聖彼得堡和莫斯科，至少還有三座世界盃舉辦城市也堪稱數學聖地，它們分別是加里寧格勒、下諾夫哥羅德和喀山，每座城市都至少舉辦四場小組賽，後面兩座城市還各自舉辦了兩場淘汰賽。加里寧格勒是俄羅斯最西部的城市，也是俄羅斯的一塊飛地，周圍是波蘭、立陶宛和波羅的海。
加里寧格勒原名哥尼斯堡，本來屬於東普魯士。“二戰”結束以後，按照“波茨坦協定”，它被劃歸蘇聯，1946年最高蘇維埃主席團主席加里寧去世以後，以他的名字命名了該城，如今俄羅斯波羅的海艦隊司令部設在那裡。加里寧有一句我們熟知的名言，“教師是人類靈魂的工程師”。
哥尼斯堡在德語裡的本意是“國王之山”，1255年由條頓騎士團創建，它是德國大哲學家康德的出生地，也是大數學家希爾伯特的故鄉，後者建立了赫赫有名的哥廷根數學學派，並在1900年巴黎國際數學家大會上提出23個數學問題，為20世紀的數學發展指明瞭方向。
希爾伯特頭像/作者攝於哥廷根
希爾伯特小道/作者攝於哥廷根
哥尼斯堡也是業餘數學家哥德巴赫的出生地，以他名字命名的數學猜想名聞遐邇。哥德巴赫猜想說的是，每個大於4的偶數均可表示成兩個奇素數之和。1742年，哥德巴赫提出這個猜想時在俄羅斯政府部門工作，迄今為止，這個猜想最好的工作是由中國數學家陳景潤完成的。
哥德巴赫的書信
同樣值得一提的是，流經哥尼斯堡的普萊格爾河上有七座橋，其中五座把河中央的島嶼與河岸相連，於是產生了一個廣為人知的數學問題，“假設一個人只能通過每座橋一次，能否把七座橋走遍？”這個問題被稱為“哥尼斯堡七橋問題”，它是數學的重要分支——拓撲學的出發點。
哥尼斯堡七橋
而在普萊格爾河入海處南岸，波蘭的波羅的海小鎮弗龍堡雖然只有兩千多居民，卻有一座七百多年曆史的教堂。16世紀前半葉，教堂裡曾有位牧師叫哥白尼，他在此度過了人生的最後三十一年。他就是波蘭數學家兼天文學哥白尼，他花了大量時間在教堂塔樓頂上用肉眼觀察天空。1543年初夏，哥白尼臨終之時才看見他的著作《天球運行論》出版，書中他斷言：地球繞著太陽運轉。
下諾夫格羅德位於莫斯科以東四百多公里處，是同名州的州府。俄羅斯世界盃期間，八分之一決賽克羅地亞點球4:3丹麥、四分之一決賽法國2:0烏拉圭兩場淘汰賽便在此城舉行。1868年初春，這座城市的一個木匠家庭裡誕生了未來獨步蘇聯文壇的作家高爾基。而在那之前，距離希爾伯特出生還有七十年，這座城市誕生了一位數學天才羅巴切夫斯基，他可是俄國曆史上最偉大的數學家。
羅巴切夫斯基肖像和簽名
在羅巴切夫斯基十歲那年，他的父親便已經去世，母親把他和他的兩個兄弟送到三百多公里以外（與莫斯科方向相反）的喀山。喀山是韃靼共和國的首府，韃靼是俄羅斯聯邦第一大少數民族。世界盃期間，八分之一決賽法國4:3擊敗阿根廷、四分之一決賽比利時2:1巴西那兩場經典的淘汰賽便是在喀山競技場進行的。羅巴切夫斯基在中學裡遇見一位非常好的數學老師，十四歲那年，天資聰穎的他便考入了喀山大學。
在喀山大學，羅巴切夫斯基在掌握了多門外語以後閱讀了大量數學原著，並充分展現了自己的才華。碩士畢業以後他留校工作，依靠卓越的研究工作和管理能力，順利得到升遷，直至做了教授、系主任乃至一校之長，列夫·托爾斯泰進入喀山大學東方語言系（後來還有列寧進入法律系）時他正好擔任校長。
大約在1823年，羅巴切夫斯基發明了以他自己名字命名的幾何學，這是與歐幾里得幾何學截然不同的幾何學。例如，在歐氏幾何裡，三角形內角和等於180度；而在羅氏幾何裡，三角形內角和小於180度。又如，在歐氏幾何裡，過已知直線外任意一點，可以作唯一一條直線與已知直線平行；而在羅氏幾何裡，這樣的平行線不止一條。
1826年，羅巴切夫斯基在自己擔任系主任的系學術報告會上講述了他的發明，卻被他的同事們認為荒誕不經，沒有引起任何注意。同樣，他在莫斯科的俄羅斯科學院報告也沒被接納。又過了三年，已是一校之長的羅巴切夫斯基在俄文版的《喀山大學學報》上正式發表他的結果，他的工作隨後才緩慢地傳遞到西歐。
喀山大學校園裡的羅巴切夫斯基塑像
最後，我們來談談舉辦世紀杯的城市裡最東邊的葉卡捷琳堡，它位於歐亞大陸的分界線烏拉爾山東麓，以彼得堡科學院創建者女皇葉卡捷琳娜一世命名。1883年，在烏拉爾山以東，離開葉卡捷琳堡兩百多公里遠的一座亞洲小鎮裡，一位畢業於喀山大學神學院的東正教神父普沃茨米利用閒暇時光找到了第9個完美數（共37位），為這個歷史悠久的數學難題添加了一筆神奇的色彩。
所謂完美數是指這樣的正整數，它等於自身的真因子之和。古希臘的畢達哥拉斯學派便已知曉，最小的完美數是6, 因為6 = 1 + 2 + 3。第二小的完美數是28，因為 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。經過兩千多年的努力，到1772年，歐拉在彼得堡找到了第8個完美數，共19位。那以後的一個多世紀裡，全世界都沒有人找到一個新的完美數。
而在普沃茨米之後，相隔四年發現第十個完美數和第十一個完美數的是美國科羅拉多州一位名叫鮑威爾的鐵路職工，不過那已經是20世紀20年代的事情了。因此我們可以這樣說，用人工的方法找到一個新的完美數比贏得一次足球世界盃還要困難（一共找到十二個；在計算機時代，一共找到了三十八個，最新的一個發現是今年年初）。
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（全文將載《數學文化》雜誌）
本文作者蔡天新，浙江大學數學學院教授、博士生導師，著有《數學傳奇》、《數學簡史》等，新近出版大學回憶錄《我的大學》（商務印書館，2018年6月）。
《數學簡史》，中信出版社，2017年首版，2018年入選國家新聞出版署向全國青少年推薦的百優出版物
《我的大學》，商務印書館，2018年首版。
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