規範場是電，弱，強相互作用的基本數學理論，規範場理論是二十世紀下半葉物理學最輝煌的成就之一，也是現代物理學最重要的概念之一。規範場的建立與一系列著名的物理學家的名字聯繫在一起，包括外爾（Hermann Weyl），楊振寧和米爾斯（Mills）等，我們在這裡從最早被發現的一種規範場———— 電磁場開始介紹，去回顧科學史上那些一念非凡的頭腦和激動人心的歲月。
規範場的歷史回顧
Beauty is truth.美既是真。——Hermann Weyl 1885-1955
我們知道愛因斯坦建立廣義相對論的最重要的思想就是對稱性（廣義協變性原理），使得對稱性這一思想在愛因斯坦之後開始引起物理學界的廣泛重視。廣義相對論和麥克斯韋方程組分別為引力場和電磁場建立了物理原理與數學方程，成為二十世紀上半葉科學家最為熟悉的兩種基本相互作用。
廣義相對論誕生之初的1918年，德國數學家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl，1885-1955）就在愛因斯坦的啟發下試圖從對稱性的思想入手，探索電磁場方程所具有的對稱性，外爾建立了一種叫做“Eich Invarianz” 的對稱變換，從數學上來看這種理論相當優美，可惜很快愛因斯坦指出其沒有物理意義。外爾後來遺憾地說“Was wahr ist, ist schoen”（美即是真）。事實上，外爾的理論已經相當接近現代規範場理論，這也使得他成為規範場理論的先驅。
在本系列之前的關於廣義相對論的介紹中我們已經知道，由廣義協變性（對稱性）直接便得到了愛因斯坦的場方程，這便暗示那個時代的物理學家，對稱性可以是建立物理定律（物理方程）非常關鍵的指導思想。在愛因斯坦之前，對稱性與物理定律的密切關係沒有引起重視，在廣義相對論誕生之後，外爾首先意識到了電磁場的麥克斯韋方程也應當像愛因斯坦場方程一樣，對應於一種基本的對稱性，這種對稱性就是我們所要介紹的規範不變性。不變性，協變性都是對稱性。
廣義協變性（對稱性）——》 愛因斯坦場方程
規範不變性（對稱性） ——》 麥克斯韋方程
1929年，外爾在量子力學理論的啟發下，開始重新探索電磁場方程所具有的對稱性，於是發現了電磁場就是一種規範場——U(1)規範場，它所具有的對稱性就是規範不變性，規範場理論就此誕生。也是受外爾的啟發，楊振寧和Mills 在1954 年為非阿貝爾（非交換）規範場建立了研究方法，他們為SU(2) 規範場建立了理論框架，為相互作用理論的進一步發展奠定了基礎。
小插曲——外爾和規範場
外爾是一個科學思想非常超前的物理學家和數學家，除了規範場理論，外爾早在1929年就已經從理論上發現了弱相互作用的宇稱不守恆，但這一思想在那個時代過於超前而被放棄並遺忘。直到1957 年，楊振寧和李政道因發現弱相互作用的宇稱不守恆而獲得諾貝爾獎，此時外爾的思想才重新受到人們的重視。
此外，二十世紀下半葉很多獲得諾貝爾獎的重要工作都直接或間接受益於外爾早年的遠見卓識，例如下文的內容所涉及的，從外爾開始物理學家才開始真正重視對稱性及作用量的概念。外爾在數學界的影響力遠遠大於物理學界，因其為數學家的身份他的很多物理思想沒有得到及時的重視，儘管外爾的一些工作具有其時代的侷限性，但就如外爾自己所言“美既是真”，他的科學思想是科學永恆的魁寶。
值得一提的是，早在楊振寧之前，O.B.Klein（1894-1977, 瑞典物理學家）也曾獨立建立過非阿貝爾規範場理論，可惜他的工作因二戰爆發沒有引起應有的重視[6]。我們之後開始簡單介紹電磁場方程所對應的規範場理論，這是一種最早被發現也是一種最簡單的規範場理論。首先我們需要簡單回顧一下狹義相對論、閔可夫斯基空間與洛倫茨向量場。
閔可夫斯基空間與四維向量場
狹義相對論是愛因斯坦在1905年為電磁場建立的對稱性理論，它的物理原理只有一個，就是光速不變性原理（真空中光速的測量與它的參考系無關，一般的教材裡介紹的“狹義協變性原理”與它等價），狹義相對論是電，弱，強相互作用所遵守的基本物理原理，我們在這裡需要使用的是狹義相對論的幾何結構——閔可夫斯基空間。
狹義相對論的所有物理結論都可以用閔可夫斯基空間及其向量場來表述，這也是我們需要熟悉的。閔可夫斯基空間是一種平直的四維空間（1維時間+3維空間，但這和四維歐式空間不同）M^4，記c為光速。
讀者可以將其視為一個4維的平面。它的度量為
（度量的不同是它和四維歐式空間的唯一區別——小編注）, 因為這個空間是4維的，所以在這個空間上定義的向量場都是四維的，一般記為
, 其下角標
, 我們也稱其為“四維向量場”，或者規範場。 所有的規範場都是這種四維向量場，包括電磁場的電磁勢 Aμ , 弱相互作用的三個規範場 
, 強相互作用的8個規範場
，這些都是四維向量場。四維向量場由閔可夫空間的四維座標系來表示，由四維向量場表述的物理定律應當在座標系的變換下保持不變，這種座標系的變換被稱作洛倫茨變換，由此得到的協變性被稱作洛倫茨協變性，也叫洛倫茨對稱性。 閔可夫斯基空間的座標變換如下所示（被稱為洛倫茨變換）
其中β=v/c 。用四維向量場表示的物理定律必須在上述座標變換下形式不變，例如麥克斯韋方程：
方程組變換前後形式保持不變
事實上規範場都是這樣的四維向量場。
電磁場的規範變換
我們把一個動量為
Pμ的電子放在一個電磁勢
為Aμ（還是四維向量場）的電磁場中，它的動量就會變為
。不過需要注意的是，由於電子具有量子效應，這裡的“動量”不是一個物理量，而是一個算符（這是量子物理和經典物理一個本質區別）。
在量子力學中，動量對應於導數算符，即
, 記
，其中Dμ就是電子在電磁場中的導數算符，自然地便有
, 即 
，Dμ就是我們在規範場 中使用的求導算符，在數學上 Dμ被稱作協變導數。 在量子理論中，電子的運動行為用波函數來刻畫，表示電子的概率幅（可以理解為某種“振幅”。量子力學的一大基本假設就是把電子看作波，所以才有了波函數的定義——小編注）。它的絕對值的平方是電子在時空中某一點出現的概率，而將幾率幅乘上一個相因子 
，意味著概率幅的相位變化了一個角度θ(x)，對計算該粒子的概率絲毫沒有影響（也可以理解為把波函數做了一個平移，使對應波的“相”發生改變——小編注）。所以我們要求物理定律（也就是對應的數學方程）在波函數的這種變換（旋轉）下應保持不變，於是Aμ也必須同時發生相應的變換（旋轉）。我們把這兩個變換合在一起稱之為電磁場的規範變換（因為旋轉可以由一維酉群U(1)描述，也稱之為U(1)規範變換）：
由於波函數是函數，電磁勢是四維向量（場），所以它們發生規範變換（旋轉）的方式不同
也許讀者們會感到奇怪：波函數只是乘了一個“相因子”而已，
Aμ為什麼就變得那麼恣意妄為了呢？其根本原因在於，由於波函數是函數，電磁勢是四維向量場，所以它們發生規範變換的方式不同。更確切地講，Aμ的變化需要保證如下等式成立：
這個等式確保了方程的形式保持不變
我們再舉一個例子以加強讀者們對規範場變換的理解。在電磁場中刻畫電子運動的是狄拉克 方程（也就是考慮了電子自旋，以及狹義相對論效應的薛定諤方程）：
當波函數發生變換
時，規範場Aμ的變換
保證了狄拉克方程的形式保持不變:
這種方程形式的不變性在數學上被稱為“協變性”，也可以叫做“對稱性”。在上述規範變換中θ如果是一個常數，即 
，那麼 Aμ就不發生變換，這種規範成被稱為整體規範場。如果
，規範場即被稱作局域規範場。
從第一個圖我們看到規範場
Aμ 是定義在時空每一個點上的四維向量場，這種結構在數學上被稱為“向量叢”（有的著作中稱之為“纖維叢”，）。第二個圖給出了電子的波函數在每一點上的相位變換
，第三個圖則看出了在波函數的相位變換下，規範場Aμ 也發生規範變換。
小插曲——規範變換的命名上面的變換為什麼會被命名為“規範變換”呢？早在1919年，外爾構造的變換是規範變換的雛形，當時他的變換不含虛數單位i，使得變換純粹成為了尺度的變換，外爾也稱這個變換的不變性為Eich Invarianz（德文，意思是“尺度規範不變性”）。儘管後來外爾的變換被認為沒有物理意義，但卻極大地啟發了正確的規範場理論的建立，英文中就一直沿用外爾命名的“gauge invariance”，意思是規範不變性。
值得一提的是，上述規範變換也引起了數學家巨大的興趣，並直接啟發了二十世紀下半葉微分幾何理論的發展，著名華人數學家陳省身早在規範場理論誕生之初便在與楊振寧的交流中發現規範場是一種微分幾何的“聯絡”，並展開了相關研究。
規範場是一種數學上的聯絡，這種聯絡被總結為“線性復叢聯絡”。聯絡是一種數學概念，是由於幾何空間的彎曲導致的彎曲效應，在廣義相對論中，四維時空的彎曲導致的聯絡在數學上被稱為Levi-Civita聯絡，規範場則是向量叢幾何結構的彎曲導致的聯絡，規範場的幾何結構已經成為現代數學的重要研究領域。數學家西蒙·唐納森（Simon Donaldson） 在1983 年就以Yang-Mills規範理論為框架研究了四維流形的微分結構，成為現代幾何學發展的重大突破。
西蒙·唐納森，他證明了一些4維流形（注意規範場就是4維的）上纖維叢（規範變換+規範場）的某種二次型（可看作矩陣）可對角化，從而引導出一系列針對4維流形的有趣結論。這一結果使他獲得1986年菲爾茲獎
物理系統的對稱性與作用量
我們在這裡再次回到外爾關於規範對稱性的思想， 對稱性可以確定作用量的形式。
“作用量”又是什麼呢？其實在數學家看來，它就是泛函（Functional，函數概念的推廣，它的自變量和因變量可以不僅是實數，還可以是任何函數——小編注）的一種。我們如上已經討論了電磁相互作用有兩種對稱性：洛倫茨對稱性與規範對稱性。通過這兩種對稱性我們可以直接確定出電磁相互作用的作用量 Lqed，
Aμ和電子的波函數映射到實數（函數->實數），形式為 
其中
，上述映射 Lqed將Aμ和映射稱為實數，所以是一個“泛函”，物理上叫做作用量。
上述作用量的形式是如何確定的呢？就是電磁場所具有的兩種對稱性，即洛倫茨對稱性與規範對稱性。上述形式的作用量在洛倫茨變換與規範變換下均保持不變（且是保持在這兩種變換下不變的最簡單的數學形式）。作用量是現代物理學中最重要的概念，基本相互作用，量子場論，統計物理凝聚態等物理研究方向都需要計算它們的作用量。作用量Lqed的一個重要的作用是計算得到物理定律所對應的微分方程，比如說，通過上述作用量 即可計算得到如下兩個電磁場的基本微分方程（通過對作用量計算變分方程即可得到）：
兩大方程分別對應洛倫茨對稱性和規範對稱性
我們所介紹的這兩種對稱性：洛倫茨對稱性和規範對稱性，作用量 和上述兩個方程構成了量子電動力學（Quantum Electrodynamics）的基本內容，上述所得到的方程也具有規範對稱性。
具體得到上述物理方程的方法就是變分法，有興趣的讀者可以查閱任意經典力學教材
其中M是u的時空定義域，D_u 是關於u的導數，則對於運動系統u所滿足的方程就是
。這一步是求變分方程，是數學的方法，通過這種方法便計算出了這個物理系統的運動方程。值得一提的是，通過拉格朗日動力學原理可以推導出狄拉克方程。
以電磁場作為例子，狀態函數就是
Aμ，作用量就是Lqed ，物理方程就是上述狄拉克方程與麥克斯韋方程。再以引力場為例，引力場的狀態函數就是黎曼度量 gμv，作用量就是愛因斯坦-希爾伯特作用量Leh ，物理方程就是愛因斯坦場方程。
關於對稱性的思想小結如下：
1.首先我們需要確定用來刻畫物理系統的狀態函數。例如電磁場的Aμ ;
2.然後用物理系統具有的對稱性確定該系統作用量的形式。例如在電磁場中，根據 U(1)對稱性確定了作用量Lqed的形式；
3.由作用量的形式確定物理定律的數學方程。例如根據作用量 Lqed的形式通過求變分方程得到了電子運動的 狄拉克方程與麥克斯韋方程，這些是電磁場的基本方程。
總結
實際上，上一節中提到的思想不僅對電磁場和引力場有效，還適用於幾乎所有的物理系統。引力，電磁，強，弱相互作用，統計物理，宇宙學等研究領域都可以由上述思想展開研究，只是不同的物理系統所具有的對稱性不一樣，它們所對應的作用量形式就不一樣，不同系統對應的物理原理不一樣，根據作用量得到物理方程的方式就有所差異。
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