“小明，你數學學得好，你來切蛋糕吧。”
“沒問題，我馬上……”
“我不是很餓，給我最小的那塊吧。“
“好.....”
“哦，對了，小珍不吃草莓，她那塊不要有草莓啊。”
“這……”
“還有，小周對覆盆子過敏。”
“……”
“還有，小莉不愛吃巧克力.....”
***
晚飯吃完了，該吃蛋糕了。切蛋糕這個重任落到了你的身上。如果你用幾何知識把蛋糕小心地切成完全相等的幾塊分給朋友們，那會兒大家肯定會抱怨:“我這塊全是硬皮，這不算啊!”“不公平啊，她那塊巧克力比我這塊多。”“我這塊怎麼都是草莓啊?我不吃草莓!”
你還是承認了吧，這蛋糕切得太隨意了，沒有考慮到每個人的不同要求！為了讓大家都滿意，不管是切蛋糕，還是切披薩、千層餅、巧克....不能一個人說了算。那該怎麼辦呢?這個問題在20世紀50年代就開始討論了，許多數學家都做出了自己的貢獻。上一章分披薩的問題只是幾何問題，這裡分蛋糕的問題則屬於博奔論的範疇——每個人都想拿到自己認為最好的那塊。
假設有N個客人來分這塊蛋糕，我們將他們從1到N編號，記為客1、客2，……，客N。每個人想要的不一樣：巧克力多的那塊對客1來說可能沒什麼價值，因為他不喜歡巧克力，但對客2來說就很好，因為他喜歡巧克力。每個人都能選出自己覺得最好的那塊，而且，每個人也都能把蛋糕分成自己看來等值的幾塊。
假設每個人都按“自己的價值觀”給每塊蛋糕從0到1評分，比如一塊什麼也沒有的蛋糕分數為0，整個蛋糕分數為1。如果評分為0.5，則意味著這塊蛋糕的價值為總體的一半，而不是分量為總體的一半。評分可以相加，比如兩塊評分為0.21的蛋糕加在一起，就成為一塊評分為0.42的蛋糕。每個人的評分標準不一樣，有人喜歡荔枝，有人不喜歡，那麼對喜歡的人來說，荔枝越多評分越高，而對不喜歡的人來說，則是荔枝越少評分越高。
按各自標準，每個客人拿到的那塊蛋糕至少應是1/N，即“可接受”的結果，這樣才能算公平。我們假設大家不清楚彼此的喜好，只想自己那塊蛋糕的價值儘量高。畢竟，這只是分蛋糕，不是炒股，做出選擇不會產生風險。如果事先故意切出很大一塊， 希望別人能讓給我，那肯定是不行的。完全公平分配，讓每人拿到的那塊蛋糕按自己的標準都恰好是1/N,這是最難實現的。但是，每人都拿到一塊價值高於1/N的蛋糕，這是完全可以實現的，如圖5.1中的(f)。
圖5.1分水果蛋糕
分水果蛋糕的時候，每個人都有自己的喜好，一個人覺得公平，另一個人則不一定。假設這個水果蛋糕中有菠蘿、奇異果、橙子、櫻桃。每個人都有自己的喜好。
客1喜歡菠蘿，所以他的評分要根據菠蘿的多少來定。在他看來，切法(a)是公平的，因為每一塊的菠蘿數量相等，評分都是1/5。假設客2、客3、客4、客5分別偏愛奇異果，橙子、櫻桃和蛋糕底，所以分法(b)、(C)、(d)、(e)在他們各自眼中也是公平的，每一塊的評分也都是1/5。
最後一種切法（f）對所有人來說都公平，因為按各自標準，每人分到的蛋糕評分都超過1/5。 比如，客1喜歡菠蘿，他拿到的雖然不是菠蘿最多的一塊(客3那塊有將近7片菠蘿)，但客1的評分也有6/25，這意味著，這塊蛋糕所含菠夢超過總數的1/5 。
兩人分:我切你選
第一種情況: 一對情侶宅在家，想要分享香甜的杏仁泡美蛋糕。這可是高級甜品店的招牌蛋糕，不能兒戲。怎麼分才能讓兩人都開心呢?其實很簡單，用“我切你選”的方法就好。
第一步：客1把蛋糕切成自己認為等值的兩塊。
第二步：客2從中選自己認為更好的一塊，另一塊給客1。
如果客1把蛋糕切得一大一小，而客2選了大的那塊，那客1也只能自認倒黴。當然，如果你的那個他(她)自願把大的那一塊讓給你，就另當別論了。既然佔了好處，就別抱怨這方法不管用了。
三人分：我切你們選
第二種情況：與好哥們兒分蛋糕。你請兩個好友來家裡分享橄欖蛋糕，但他們和你一樣都想獅子大開口，拿一塊最大的，這該怎麼辦呢? 1943 年，提出過一則泛函分析定理的胡戈·施泰因豪斯第次確立了三人分配法。
第一步，客1把蛋糕切成他認為等值的三塊。
第二步，客2看一下這三塊，並有以下兩種選擇:
☼如果看到至少有兩塊可接受的蛋糕，那就先不拿；此時，按客3、客2、客1的順序選蛋糕;
☼如果有兩塊不能接受，就把這兩塊標為“差”。
第三步，如果客2將兩塊標為“差”，那麼此時客3也有兩個選擇：先不拿或者將兩塊標為“差”。 如果客3決定先不拿，那就按照客2、客3、客1的順序選蛋糕。
第四步，如果客2和客3都選擇做標記，那客1就要必須拿同時被客2和客3標為“差”的那一塊(或兩塊之一)。
第五步，此時還剩下兩塊蛋糕，我們把兩塊合成一塊 (考驗你烘焙技藝的時候到了)。客2和客3用“我切你選”法來分：客2把合成一體的新蛋糕切成自認為等值的兩塊，客3從中選塊，剩下那塊歸客2。
如果大家都理性行事，每個人拿到的那塊蛋糕都將是可接受的選擇。客1總是最後選的那個人，所以他在一開始切的時候就要儘量均衡。第二步時，客2在保證能拿到可接受選擇的情況下，才會決定先不拿。如果他選擇做標記，那無論客3怎麼選擇，他最後都能拿到可接受的蛋糕。總之，按照這種方法，每個人都滿意。
N人分：每人一刀法
第三種情況：朋友們一起玩桌上游戲《龍與地下城》。3個小時之後，法師死了，大家剛好藉機休息一下。主人做了他最拿手的布列塔尼蛋糕。聰明如你，一定會用巴拿赫和克納斯特在1944年提出的分配法，以保證分配公平。
第一步，客1從蛋糕中切出自認為價值1/N的 一塊， 我們稱之為P。
第二步，客2有兩種選擇：
☼如果他認為這塊不可接受，就什麼都不做；
☼如果他覺得可接受，就把P再切小一點， 但依然保持可接受的狀態，即其價值對客2來說至少是1/N。
第三步到第N步，其他所有人，即從客3到客N。都做出同樣的選擇——要麼什麼都不做，要麼把P再切小一點，這樣P會越來越小，最後一個選擇切小的人可以把它拿走，然後回到第一步：把剩下的蛋糕合在一起，剩下的N-1人人重複以上過程，直到最後剩下2人，用“我切你選”法即可。
最後，每個人都能得到自認為價值1/N 的蛋糕，因為那是自己切的。當然，每人一刀，蛋糕最後會不會被切成渣，那就說不好了。下次還是少放點梅子吧....
N人分：你喊我停法
第四種情況：你的婚禮。切蛋糕是婚宴的重頭戲。親朋好友都來祝福你們，更想嚐嚐蛋糕好不好吃。40 個客人要公平分配，這可不能兒戲。根據傳統，只能由新郎和新娘來切，千萬不能像上個例子中那樣，賓客每人一刀把蛋糕切成渣。
1961年，杜賓斯和斯帕尼爾提出了一種分配法，用在這種場合再合適不過，因為掌刀的只有一人，而且能保證每人拿到的都是1/N。與之前的例子不同，這種方法不是一步一步進行的，即“離散”方法，而是所有人同時進行選擇，即“連續”方法。
新郎和新娘舉起刀，在蛋糕上慢慢劃過，如果有人覺得夠了(可接受)，就喊停，新郎和新娘就把這塊切給他， 剩下的客人繼續。 最後剩下的兩個不知足的人——如此不懂禮節。一定是夫妻倆——用“我切你選”法即可。採用這種方法可不能貪心，不然該輪到你的那塊就被別人拿走了。
三人分：不吃虧
第五種情況：孩子們吃點心。考驗你的時候到了，要給三個孩子分奶油布丁。孩子們可不在乎公平不公平，他們只想著自己的那塊不能比別人小！
這不再是公平分配的問題，不是要讓每塊都大於等於1/3，而是要讓大家都覺得自己沒吃虧，都能拿到自認是最好的那塊。兩人分用“我切你選”法肯定沒問題，但施泰因豪斯的三人分配法就會有問題了。幸好有塞爾弗裡奇-康威法。塞爾弗裡奇於1960年發現了這一方法但未發表，20世紀90年代由康威再次提出。這方法彌補了施泰因豪斯方法的不足：
第一步，客1把蛋糕切成自認為等值的3塊。
第二步，客2有兩個選擇：
☼如果最大的兩塊在他看來是一樣的，那就什麼都不做；
☼如果最大的兩塊在他看來不一樣， 那就從更大那塊切去部分，讓這兩塊一樣大。切下來的這部分我們稱作M，先放在邊。
第三步，按客3、客2、客1的順序選擇蛋糕，但要遵循一個規則：如果客2在第二步中切了一刀，那他切過的這塊如果客3沒有拿，則客2必須拿。
第四步，第二步中客2切過的那塊要麼歸了客2，要麼歸了客3。我們把拿到這一塊的人稱作客N，另外一人稱作客C。由客C把小塊M切成自認等值的3塊，按客N、客1和客C的順序各選一塊。
聽起來有點繞，但按照這種方法，每個人都不會覺得自己吃虧。第三步之後，客1會拿到自己一開始切出的3塊中的一塊，也就是1/3。因為按照規則，如果客2在第二步把其中一塊切小了，那這塊要麼歸客2，要麼歸客3。客3第一個選，肯定會選自己覺得最大的那一塊，他不會覺得吃虧了。客2把自己看來最大的兩塊切成一樣大，且拿到了其中一塊。三步之後誰都不會覺得吃虧。多出來的M部分怎麼辦呢？從客1的角度說，他拿到的那塊已經比客N那塊大出M，而與客C拿到那塊相等，所以在選擇M切出來的3塊時，雖然客N先選，但不管他選哪一塊，在客1看來自己還是不吃虧。
有了這些方法，不管有多少朋友，不管是什麼蛋糕，都能公平分配。這裡就不討論N個人分蛋糕時如何既讓所有人都覺得不吃虧，也不會把蛋糕毀掉了，因為這個問題到今天也沒有解答！此外，假如還有分黃瓜派的問題，恐怕這時每個人都想要最小的那塊.....
“切好啦，感謝巴拿赫和克納斯特，蛋糕完美分配。大家都滿意嗎?”
“還行，確實分得很公平。不過我剛看到的明明是摩卡蛋糕，怎麼碎成酥粒蛋糕啦?”
* 文章摘選自科普讀物《數學也荒唐：20個腦洞大開的數學趣題》，[法]傑羅姆·科唐索著，王烈譯，人民郵電出版社，2017.8。
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終於有人認真研究如何用數學對付生活中的荒唐事了。你還在問“數學有何用處”嗎？這是因為你的想象力還不夠大。代數、概率、統計、幾何、拓撲……書中令人捧腹的離奇問題，讓貌似嚴肅而艱澀的數學變得既狡猾又幽默。
數學荒唐起來，有誰能攔得住？
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