在生死麵前
該如何選擇
五個囚犯先後從100顆綠豆中抓綠豆，抓得最多和最少的人將被處死，不能交流，可以摸出剩下綠豆的數量，誰的存活幾率最大？
提示：1、他們都是很聰明的人；
2、他們的原則是先求保命，再去多殺人；
3、100顆不必都分完，但要保證每人至少抓一顆；
4、若有重複的情況，則也算最大和最小，一併處死。
@王霄池：
看Matrix67大牛的博客，讓我學到了一個思維方式，那就是從最簡單的情況開始考慮。
在大家開始看答案之前，我必須指出：因為題目中沒有“每個人都知道其他人也很聰明”這個條件，所以，不會出現A選96顆豆子這種情形。
下面是分析：
假設有3個人ABC，10個豆子，其他條件不變。
一開始B是非常緊張的，他開始了思考。
對他來講，有上中下三種策略：
1.上策：自己活著
2.中策：全部死光光
3.下策：自己死了，但有其他人活著。
然後他就開始預測A的行為：
1.A如果拿8顆豆子，B拿1顆豆子，C拿1顆豆子,全死。
2.A如果拿7顆豆子，現在輪到B做選擇了:
- a.B如果拿1顆豆子，C不敢拿1顆，必然拿2顆,C獨活。
- b.B如果拿2顆豆子，C只能拿1顆，B獨活。
- c.因為B是個理性人，B這個小婊砸一定會拿2顆。AC死了。
3.A如果拿6顆，B就拿3顆；A如果拿5顆，B就拿4顆，都是B獨活，AC死。（我真的不是在黑A站）
4.B已經找到了規律，那就是，讓自己拿的數量在AC之間，就可以保證活。
想到此處，他不由得笑出聲來。A冷冷的看了他一眼。
5.A如果拿4顆，現在輪到B做選擇了：
- a.如果B拿5顆，C只能拿1顆，A獨活，BC死。
- b.如果B拿4顆，C不論拿幾顆，都是三人同死。
- c.如果B拿3顆，C在得知前兩人共拿7顆的情況下，選擇拿3顆，三人同歸於盡。
- d.如果B拿2顆或1顆，C會選擇拿3顆，C獨活。AB死。
- e.B驚奇的發現，不管怎麼選，自己都會死。他是不會選擇讓C這個小婊砸活著的。
- f.於是B選擇了拿3顆。
6.A如果拿3顆，B略微思索了一下，也會選擇三個人同歸於盡。
7.A如果拿2顆，B會拿3顆，但是C哈哈一笑（C已經習慣了在B的腦洞中死亡），他不拿5顆，也不拿4顆，也不會拿1顆，他拿了3顆。三人同歸於盡。
8.A如果拿一顆，那麼（感謝@昌俊指正）
9.
- a.B選1顆，3人同死
- b.B選2顆，CC會選擇三人同歸於盡。
- c.B選3顆或以上，C選AB的平均數。AC活，但B死，所以B不會做這個選擇。
但是A也思考了上述的全部過程，A悲催的發現：如果B很聰明，不管自己怎麼選，都是個死。
對，你去上面仔細看看，我們已經列舉了所有的情況。
既然這樣，A把希望寄託在B不是很聰明上面，他微微一笑，選了4顆豆子。
ABC卒。
我們歸納出一個定理：如果3個人有n個豆子，
，且A不知道B和C是不是理性的，他可以選擇[n/3]，如果ABC三人都是理性的，他們會同歸於盡。
時光荏苒，有個變態又抓到了4個人，ABCD，然後給了他們20顆豆子。
我們繼續從如果A拿20顆豆子開始分析。
啊，不，還是直接寫結論吧。
1.當A選擇17個時，同歸於盡。
2.當A選擇16到6個時，B活著。A死。
3.當A選擇5時，B選4，C選4，D選擇4和大家同歸於盡。
4.當A選擇4時，B選5，C選4，D選擇4和大家同歸於盡。
5.。。。
6.A發現自己必死。於是他拿了5顆豆子，他寄希望於其他人高尚一些。
7.ABCD卒。
轉眼到了2015年，題主抓住了5個人，給了他們100顆豆子。
第一個人深吸一口煙，吐出個菸圈，他拿了20個。
====程序員的分割線===
後來我又寫了個程序，模擬瞭如下狀況：
假設所有人都假設其他人的選擇是隨機的。
可能是因為每個人都假設其他人可能是聰明人，笨的人，高尚的人，自私的人，抑鬱症患者等。
那麼在所有的樣本空間裡（75287520種可能性），做出最有利於自己的選擇：
100 left for A
A will chose 10
90 left for B
B will chose 11
79 left for C
C will chose 11
68 left for D
D will chose 10
58 left for E
E will chose 10
@王路：（忽略第二個要求：他們的原則是先求保命，再去多殺人）
數學上的解答，各位大牛已經詳盡了。
此題還有邏輯上的簡便方法。以及，數學之外的思考。
題幹有個條件：“不能交流”。
由於假定每個囚犯都無比聰明，所以交流與否，不影響最終決策。
去掉“不能交流”，答案不會有任何變化。
當五個囚犯經過推理，都認定自己必死的時候，有人開始琢磨：
我的推理，都是建立在個人決策的基礎上，假如可以結盟呢？我找兩個人結盟，把剩下兩個人搞死，不就可以了嗎？
想到這裡，a不禁沾沾自喜，看到了絕處逢生的希望，他對b、c、d、e說：
我雖然不能讓你們生，但保證能讓你們死。
（如果我給你們每人留1個，你們都會死。）
現在，上頭要求至少提供兩個死的名額，你們商量出個方案，只要保證我100%不死，我就配合。
如果不能保證，誰也活不了。
b聽了，扭頭對c、d、e說：
上頭要求至少提供兩個死的名額，a不能死，我也不能死，你們仨商量具體操作方案。
如果誰能讓我、a、他都100%不死，同時，又讓其他二人無論如何選擇都無法左右我們三人的結盟，我和a就照辦。
如果不存在，你們仨都會死（給你們都留1個）。
c對d、e說：上頭要求至少提供兩個死的名額，a、b、我，都不能死……
d、e說：開什麼玩笑，你的意思不是讓我倆死嗎？你們愛誰死誰死！
a、b、c恍然發現，結盟的可能並不存在。
不存在一種結盟可以保證某人必活。
這個結論可以推廣：
100個囚犯先後從10000顆綠豆中抓綠豆，抓得最多和最少的人將被處死——
結果一樣：所有人都會死。
10000個囚犯先後從100000000顆綠豆中抓綠豆——
仍然一樣：所有人都會死。
圍觀者曰：開玩笑吧？只是從10000人裡挑最少和最多的，竟然每個人都會死，太可怕了吧？
答曰：是的。
為什麼如此殘酷？在於假定前提——
“每個人都利己，即便不利己，也要損人，損人意味著局部利己。”
這樣的假定下，唯一的結果就是大家都死。
假如世界上每個人都是先求利己，利己不成的情況下求損人的話，世界馬上就完蛋，誰也活不了。
既然如此，為什麼我們現在活得好好的呢？
因為真實的世界放鬆了假定。
放鬆的第一處是：
並不是每個人都絕頂聰明。第二處是：每個人也許都想利己，但不是必然要求損人。
現在考慮，其他條件不變，一點點放鬆第二處假定，看結果如何變化：
a想：唉，我這麼聰明的人，竟然必有一死，既然橫豎都是死，別人死不死關我鳥事，隨便抓一把，去他孃的！
抓了一把，一看：5個。
輪到b，b一摸，發現a抓了5個，心想：
喲，這傢伙居然不是心黑到頂。
我最利己的抓法是幾個呢？4個。
如果我抓4個，c、d、e會抓幾個？都是4個。
（5、4、4、4、4）
結果是，大家都死掉。
想到這裡，b倒吸了一口冷氣：想不到我這麼聰明的人，即便a不陷害，也逃不了一死，真是天命、天命啊！隨便抓吧。
抓了17個。
剩下c、d、e，沒得選了，出於利己優先的原則，都選平均數，抓11個。
（5、17、11、11、11）
a、b都死了，後三人活了。
這意味著，只要前面兩人不存心害人，後面人就能活得很好。
但先行者的犧牲是難免的。
原始人問現代人：憑啥我們茹毛飲血你們吃香喝辣？
現代人說：憑你投胎早啊。
原始人說：老子得不到的，孫子們也別想得到。
不繁殖了，就沒有現代人了。
但要注意：b的死亡跟a還不一樣。
a的死亡，在放鬆假定後很容易避免。
b的死亡，則難以避免，並有最大的悲劇意義。
在a隨機抓了5個的情況下：
假定a抓5個是為保證剩下的綠豆夠前人的平均數，正因為有不夠平均數的可能，b有能力拯救a。
假如b抓的比a多，他一定是因為抓得最多而死掉。
假如b抓得比a少，他一定是因為抓得最少而死掉。
後來者僅僅出於利己，就會都選平均數。
哪怕cde只為利己，不為害人，b都非死不可。
a的死看起來和b類似，其實有重要不同。
a可以用他的死彰顯自己的高尚或卑劣：
輪到b時，b發現a抓了96個，破口大罵：王八蛋，自己死就死了，還要拉上俺們墊背！真是爛人！
輪到b時，b發現a只抓了1個，感慨萬千：好人吶，好人。脫離了低級趣味的人。
但是，a抓1個，雖然給其他人留了活命機會，但無論如何救不了b。
b最利己的抓法，是抓2個。
那麼接下來，c、d、e、會毫不猶豫地都抓2個，同時破口大罵：b這個王八蛋！
因為（1，2，2，2，2），所有人都要死。
如果前兩人只抓3個，無論如何，後三人死的責任都在b頭上，哪怕a抓2、b抓1，c、d、e也是必死，他們的死，都是b導致的。
如果b抓50個就不會令他們都死。
b不管怎麼抓，自己都得死，而且，沒有辦法證明自己是個好人。
b出於利己抓2反而損害了自己：非但不能活，還招來一堆唾罵。
b嘆了一口氣：既然橫豎是死，與其死了捱罵，不如死了有人記得我的好。
抓了50個。
輪到c，發現筐裡剩下45個，掐指一算，ab的平均數是27.5，他毫不猶豫地抓27。
輪到d，發現還剩18個，他想抓平均數27，不夠了，只好抓了17個。
心裡對e說：兄弟，對不住了，不是有意要害你，哥哥自身保命要緊。
（5、50、27、17、1）
b救了a、c、d，犧牲了自己。
c並不知道，自己的命是b救的，他抓的時候還懷疑ab分別抓了（28、27）。
d也不知道b救了他。e就更不知道了。
b的善意沒人知道。
除了a
當a發現自己最終沒死的時候，被b感動得痛哭流涕：好兄弟！
換言之，如果a足夠聰明，他會想到，他的生死，可能決定在b手裡。
比如：a抓5個，b有辦法讓a必活（抓90個）。
但是，這種決定，需要一個前提，即：b有報恩心態。
我們定義一下報恩心態：
弱報恩心態：如果別人表現出對我好，在不影響自利的前提下，我選擇對他好。
強報恩心態：如果別人在可以對我壞的情況下，選擇不對我壞，在不影響自利的前提下，如果我可以對他壞或不對他壞，則選擇不對他壞。
由於報恩心態在世間是真實存在的，所以a存活的幾率很大。
a只要不殺b，放b一馬，b雖知必死，只要有強報恩心態，a就必活。
但世間存在的弱報恩心態比較普遍，強報恩心態相對較少。
如果我活著，讓我對你好當然可以，我都死了，對你好不好我才不在乎呢。
換言之，a的存活取決於b是否具備強報恩心態。
而bcde是否必死，取決於a是否追求損人。
如果，a是個平庸但不卑鄙的人（只追求利己，不追求損人），則在後繼者b有強報恩心態的情況下，會享受到先行者的紅利。
否則，a會成為死在沙灘上的前浪。
所以，在真實的社會模型中（利己但未必損人的假定下），a一定不會選擇抓96，讓所有人都死掉。
而b，無論如何，既無法享受先行者的紅利，也無法避開後繼者的迫擊，後人僅僅出於自利就會把他弄死。
除了先行者感謝他的不殺之恩外，沒有人念他的好。
我們可以把這叫做：“老二的悲劇”。
現在假定，a是高尚的人。
先給高尚一個定義：
弱高尚：如果可以自利，就自利。
如果不能自利，利人也好。
這個定義並不嚴密，因為有時候自利牽涉到損人，嚴密的定義太複雜，故從略。
另外，報恩心態，也算是弱高尚的一個具體例子。
強高尚：利人和自利無區別。
強高尚在世人身上鮮少存在，一般只存在於有血緣關係的近親或有宗教信仰的人身上。弱高尚則相對普遍。
假定a是弱高尚的人，他意識到，在世界上不存在其他高尚的人的情形下，自己難逃一死。
既然橫豎都是死，不如，做個高尚的人。
a選擇只抓1個。
這就意味著，a以一己之力，讓全世界犧牲的概率最小。
但，這僅僅是概率，a的力量有限，他還需要另一個人的成全。
假如b是庸俗的人，會選抓2個。
c、d、e都是庸俗的人，都只抓2個。
（1，2，2，2，2）
全都死掉。
a雖然願意拯救世界，但落空了。
但只要，b、c、d、e裡，有一個人，願意抓50個，就能救所有的人，除了自己和a。
a的死，是求仁得仁，自己的死，是捨生取義。
因為有兩人選擇主動犧牲，其他人都可以得救。
假如70億人，先後從1000億綠豆中抓綠豆，最多的和最少的會死掉的話，
只要存在2個以上高尚的人，世界就會得救。
地藏菩薩雲：
地獄不空，誓不成佛。
我們所處的世界並非不險惡，不逐利。
但之所以沒有塌陷，還能支撐許多庸凡的人平靜地生活，正因為有聰明絕頂的人，在覺悟了世界的冰冷和絕望之後，自甘做出犧牲來消融世界的冰。
“超級數學建模”（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆瞭解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！
閱讀更多 超級數學建模 的文章
