舊日好友發過來一道題請教：請把1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字組成不重複的四位數和五位數，使得：
著實費了小編一番功夫，最後得到一個答案：
實際上這個有趣的數學問題並不是空穴來風，它被稱為“塞姆羅德的書架趣題，”來源於美國著名趣題大師塞姆羅德，相傳在塞姆羅德小的時候，有人送給他一套《英國曆史》，共九卷。他隨意地把這套書分放在雙層書架上，上層放第6、7、2、9卷，下層放第1、3、4、5、8卷，恰好得到了一個分數為1/2，羅德又用這九卷書重新排列：上層放第5、8、3、2卷，下層放第1、7、4、9、6卷；上層放第4、3、9、2卷，下層放第1、7、5、6、8卷；上層放第2、7、6、9卷，下層放第1、3、8、4、5卷；上層放第2、9、4、3卷，下層放第1、7、6、5、8卷；上層放第2、3、9、4卷，下層放第1、6、7、5、8卷；上層放第3、1、8、7卷，下層放第2、5、4、9、6卷；
上層放第6、3、8、1卷，下層放第5、7、4、2、9卷。正好利用這九個數字得到了七個分數，即：
當然這種答案不是唯一的，實際上我們利用數論中的同餘法（或者利用棄九法）可以求出所有答案：
這道題實際上是一道生活中的排列組合問題，分為8個小問題，在這8個小問題中，答案的個數不唯一，最少有2個，最多可以達到46個，是訓練孩子們思維的一道不可多得的耐人尋味的經典妙題。
面對如此多而巧的答案，在驚奇自然數如此之巧妙之外，我有絲忐忑，不禁想問，怎麼約分啊？
或許是數字較大的問題，很多孩子沒有化簡，課堂教學時，學生們大聲詢問，算不算對，會扣幾分，在應試教育的前提下，孩子們有這樣的想法並不算錯，但是對於我這位對數學有“潔癖”的人來說，就會感到有些不舒服，為什麼我們不去追求的更完美一些，實際上這個分數很容易看出來公約數，能夠較快地約分化為最簡。
在人教A版必修3中有介紹國內外的兩種求最大公約數的方法：輾轉相除法和更相減損術。實際上求最大公約數的方法就是約分，將分子分母同時除以它們的最大公約數，就可以得到最簡分數。（也可以求出兩數的最小公倍數，利用兩數之積等於它們的最大公約數與最小公倍數之積），今天，我們來談談我國的更相減損術。
“更相減損術”記載在公元1世紀前後、我國最重要的數學文獻《九章算術》第一章“方田”中。《九章算術 方田》第六題：“有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。術日：可半者半之。不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之”。這是《九章算術》對約分方法的完整總結。也就是說“更相減損術”的出現最初就是為了解決約分的問題。
課本上對更相減損術的解釋：第一步，任意給定兩個正整數，判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二步。
第二步，以較大數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）或這個數與約簡的數的乘積就是所求的最大公約數。
如：求120與144的最大公約數。
120÷2=60，144÷2=72
60÷2=30， 72÷2=36
30÷2=15， 36÷2=18
18-15=3
15-3=12
12-3=9
9-3=6
6-3=3
則3×2×2×2=24為120與144的最大公約數。
記得當初初次教學時就對這一方法進行研究，當時還討論過為什麼要有“可半者半之”這句話，半者之後最後還要乘上去，似乎有些麻煩，實際上我們在操作過程中完全可以把這句話捨去稱為“副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。”仍是求最大公約數的方法，我們不妨起個名字叫做“輾轉相減法”，翻譯成現代語言如下：任意給定兩個正整數，以較大數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
譬如我們仍解決120與144的最大公約數。
144-120=24
120-24=96
96-24=72
72-24=48
48-24=24
則24為120與144的最大公約數。我們會發現這樣做用到的減法次數和更相減損術是一樣的，並且少了除以2和乘以2的步驟，那麼為什麼更相減損術要以2約之呢？當然有一個很有利的說服就是把大數變小，解決較小數的減法運算，難道僅僅是這個原因嗎？當時我們學科教師也曾為這個問題爭論，不急，我們慢慢道來。
先說這個所謂的輾轉相減法最後得到的那個等數為什麼就是兩個正整數的最大公約數呢？
實際上這就是“初等數論”中的一些原理：
這種方法就變成“輾轉相除法”，又叫做“歐幾里得算法”。是公元前300年左右的希臘數學家歐幾里得在他的著作《幾何原本》中提出的。
也就是說，古希臘的“輾轉相除法”是中國古代“輾轉相減法(更相減損術)”的一個簡潔表示的形式。它們在理論上是一致的，明顯看出，“輾轉相減法”和“輾轉相除法”都是求最大公約數的方法。從計算上看，輾轉相除法以除法為主；更相減損術以減法為主。計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少。特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。從結果體現形式來看：輾轉相除法體現結果是以相除餘數為0則得到。而更相減損術則以減數與差相等而得到。
實際上，更相減損術有著自己獨特的優勢，例如在求四個數1008，1260，882，1134的最大公約數，可以不拘次序地挑選最方便的，從較大的數減去較小的數，如果出現完全相同的餘數，則這個餘數就是所求的最大公約數。上訴四個數的最大公約數（1008，1260，882，1134）
=（1008-882，1260-1134，882，1134-882）=（126，126，882-6×126，252-126）=（126，126， 126，126）=126。
我們再回頭看看，更相減損術的原文記載：術日：可半者半之，不可半者，副置子、母之
數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。——《九章算術·卷第一方田》
如何理解這個“可半者半之”。
我的理解是更相減損術的初衷是為了解決約分問題，而整數的奇偶性是可以一眼看出來的，所以首先約之，至於其他的約數不易判斷，所以更相減損也就是說，不一定用2約之，其他的仍是成立的，譬如，求1850與13875的最大公約數：
但是這樣的考慮，是解釋了“可半者半之”，但是原文內還有“更相減損”，如何理解“更相”？
我的理解是：當兩數中僅一數為偶數時，直接用2約簡。這樣，“更相減損”一句也豁然貫通了：“減”即指“以少減多”；“損”即指“可半者半之”；“更”即指“減、損”兩操作交替進行(顯然，這裡“減”必然是兩個奇數相減，其差必為偶數，因此每次“減”後必然有“損”的操作)。
接下來，我們用三種方法來解決《九章算術》中的問題：今有九十一分之四十九，問約之得幾何？
輾轉相除法：
91=49×1+42
49=42×1+7
42=7×6+0
則7為91與49的最大公約數。
更相減損術（課本記載），含輾轉相減法：
91-49=42
49-42-7
42-7=35
35-7=28
28-7=21
21-7=14
14-7=7
則7為91與49的最大公約數。
修訂後的更相減損術（體現更相）：
91-49=42（減），42÷2=21（損）
49-21=28（減），28÷2=14，14÷2=7（損）
21-7=14（減），14÷2=7（損）
則7為91與49的最大公約數。
從這一運算效果來看： “減”的主要目的是生成偶數，“損”才是減小數值的主要途徑(這一點在數值較大的運算中尤為明顯)。
說實話，小編更願意相信：我國的智慧更超前、更領先、更先進。談不上固步自封，但是我為我是中華兒女而驕傲！！！！！
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