一說起圓周率π，很多人就想到祖沖之老爺子的割圓術。
說實話，祖大人也挺無奈的，從我們小學就開始割圓，一直割到大學還在割。
但割圓術只適合手算，如何用電腦算π呢？
泰勒展開
泰勒展開在科學計算中簡直有著匪夷所思的變態威力。
之前我有一篇文章 介紹了什麼是泰勒展開，它可以把複雜函數轉換成加減乘除，比如sinx：
之所以要展開，是因為通用計算機本質上只能計算加減乘除。
用泰勒展開計算π
首先想到的思路就是，反三角函數，根據定義有：
那麼，接下來的問題就是，
如何計算arctan(1)
有人說，直接調用C語言庫函數atan(double,double)不就行了。
確實，這可以完成計算，然而，這是一種令人不齒的開掛行為，就好像我問怎麼跑完馬拉松，你說你開車一溜煙就跑完了一樣。
庫函數是別人寫好的，我們現在是思索如何實現計算，而不是考慮如何調用。
至此，我們只好請出祖傳配方，把arctan(x)進行泰勒展開：
然後，令x = 1，得到：
格雷戈裡-萊布尼茨公式
它被稱為萊布尼茨級數，也被稱為格雷戈裡-萊布尼茨級數，用以紀念萊布尼茨同時代的天文學家兼數學家詹姆斯·格雷戈裡。
看起來很吊是不是······
但是啊但是，還不夠吊，因為問題還沒完：
這個級數收斂極慢。
比如，算到+4/9，也就是前五項，結果僅為3.3396，誤差有0.2之多。
它要到算500000項之後，才會精確到小數點後五位：
就算電腦也算得太累了。
何況萊布尼茲（1646年7月1日－1716年11月14日）當年是沒有電腦的！
加快收斂
於是，人們嘗試改進，希望能快點計算。
英國數學家梅欽在1706年用上面的級數，發掘了一個可以快速收斂的公式：
配合上面arctan(x)泰勒展開，梅欽依據此公式（沒有電腦），把圓周率計算到小數點後一百多位。
英國數學家威廉·謝克斯花15年的時間以此計算到小數點後707位，不過在第528位時出錯，因此後面的都不正確了。
微微杯具就是了。
神奇公式
現代有了電腦，我們希望更快的收斂速度，因此科學家在尋找新的級數。
歷史總是留給吊人的，也總是會生產一些吊人的。
比如：
拉馬努金公式
這玩意被稱為拉馬努金公式，是印度科學家拉馬努金發明的。
第一位用拉馬努金公式計算π並取得進展的是比爾·高斯珀，他在1985年計算了小數點後一千七百萬位。
收斂再快一點？還有楚德諾夫斯基公式：
楚德諾夫斯基公式
楚德諾夫斯基兄弟於1989年算得π小數點後10億（10⁹）位，法布里斯·貝拉於2009年算得2.7千億（2.7×10¹²）位，亞歷山大·易和近藤滋在2011年算得一萬億（10¹³）位。
意不意外，驚不驚喜，
無不無聊······
閱讀更多 王珂 的文章
