先說答案：行列式是線性變換的伸縮因子。
理解行列式一定要從線性變換出發去理解，直接去理解它的代數形式是沒有意義的。
這篇文章的結構是：
- 線性變換的幾何直觀
- 實現線性變換的矩陣
- 行列式
1 線性變換的幾何直觀
線性變換的幾何直觀有三個要點：
- 變換前是直線的，變換後依然是直線
- 直線比例保持不變
- 變換前是原點的，變換後依然是原點
比如說旋轉：
比如說推移：
這兩個疊加也是線性變換：
自己動手試一下（觀察下是否符合之前的三個要求）：
2 實現線性變換的矩陣
矩陣可以講的東西非常多，我這裡通過一個具體的例子來展示下矩陣是如何完成線性變換的。
我把基畫出來的原因是因為矩陣變換的其實是基。
舉例子來看看，比如旋轉（旋轉矩陣
)：
如果要說詳細點，實際上：
我們只需要旋轉基，就可以完成正方形的旋轉：
下面我們看看正方形的旋轉過程中，旋轉矩陣和基是怎樣變化的（為了方便觀察旋轉，我標記出一個頂點）：
再給一個例子，看看推移是怎麼改變基的：
3 行列式
3.1 行列式是線性變換的伸縮因子
我們還是拿旋轉矩陣來舉例子：
什麼意思？我們來看看：
在繼續往下面講之前，我設計了一個動畫，讓你來感受一下，變換矩陣的行列式由正到負，線性變換會怎樣進行（我把基也標註出來）：
掌握了行列式是線性變換的伸縮因子這一點之後，我們就很容易理解各種行列式的值與線性變換的關係。
3.2 行列式>0
行列式>1，很顯然對於圖形有放大的作用：
行列式=1，圖形的大小不會變換：
0
3.3 行列式=0
行列式等於0，有一個重要的結論是，矩陣不可逆。這點也很好理解。
先看看什麼是可逆。原始的圖形是這個樣子：
通過旋轉矩陣，逆時針旋轉 45 度：
再通過另外一個旋轉矩陣，順時針旋轉 45 度：
看起來這個正方形就像沒有變換過一樣，因此
和
互為逆矩陣。
有的線性變換是可逆的，有的不行，比如行列式=0這樣的線性變換就是不可逆的。從圖像上看，圖形會縮成一點：
或者縮成一條直線：
沒有矩陣可以把它們恢復成原來的樣子。
這就好比摔碎的雞蛋、潑出去的水、破了的鏡子：
所謂覆水難收、破鏡難圓就是這個意思。
3.4 行列式<0
原始圖像是這樣的：
被行列式<0的矩陣線性變換後是這樣的：
行列式<0，其實就是改變了基的“左右手法則”。
4 推論
知道了行列式的意義，我們就很容易知道，為什麼說：
我們也很容易知道，為什麼說：
這是因為：
我們也很容易知道，為什麼說三階矩陣的行列式是列組成的平行六面體的體積。
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