找次品問題之次品特點未知的“通用模型”
2018年8月11日星期六
本文給出一般地解決“n找1次品特點未知”的通用模型。
首先重申問題的假定：
1.次品單以質量輕重界定；
2.次品唯一；
3.其餘合格品質量均一致。
問題的技術手段：使用無砝碼天平對比稱重。
問題的求解目標：以最少稱重次數找出次品，獲知次品輕重特點，給出完整的、包含各種可能的稱重實驗步驟。
對於一般地n，根據“儘量均分為三”的最優策略，作出以下分類：
（1）n＝3a
（2）n＝3a＋1
（3）n＝3a＋2
其中：n、a∈N，a≥1。（若a＝0，則有n＝0、1、2。這三種情況沒有討論的意義，0找1不存在，1找1次品唯一不用找，2找1次品特點未知永遠找不出。故而將討論限定為n≥3。上述分類實為n除以3餘數為0、1、2的三種情況。）
由於情況（3）的討論涵蓋情況（1）、（2），本文以情況（3）為主展開，情況（1）、（2）可輕鬆類比得出。
（一）對於n＝3a＋2如下分組：
n（3個最大相同組，剩餘組）＝n（A組，B組，C組，剩餘組）＝n（a，a，a，2）
（二）一個引理：
如果對比2次可以得出次品特點，則至少需要3個相同分組，如下：
|A|＝|B|＝|C|
（|A|：表示集合A的元素個數，餘同）
（重要程度★★★★）
第1次：（A）←→（B）
第2次：（A）←→（C）
0－1：若A與B平衡，則C內含次品，第2次稱重可知次品輕重；
1－0：若A與B不平衡，且第2次A與C平衡，則B內含次品，根據第1次稱重情況可知次品輕重；
1－1：若A與B不平衡，且第2次A與C不平衡，則A內含次品，根據第1次或第2次稱重情況均可知次品輕重。
（符號的意義請參閱前文《找次品問題之次品特點未知的特例1——5找1“破組法”》）
（三）一個特例：
a＝0時，n＝2，2找1次品特點未知，永遠找不出，原因可以理解為：不滿足引理中“3個相同組”的條件。
（四）對於n＝3a＋2取3個“最大相同組”：
n（a，a，a，2）＝n（a－1，a－1，a－1，5）＝n（a－2，a－2，a－2，8）＝……
只有取3個最大相同組（a，a，a）時，剩餘組才能保持最小，此時剩餘組為餘數2。
以上分組將n分為四組，為了使模型更接近“均分為三”的最優策略，取剩餘組最小。下面的推理過程及結論，將有助於理解這樣做的原因。
（五）開始稱重實驗：
第一步：（A）←→（B）
第二步：（A）←→（C）
第三步：
分兩種情況討論：
Ⅰ.次品在3個最大相同組中。
此時，前兩步出現：
1－1：次品在A組中，次品特點已知；
1－0：次品在B組中，次品特點已知；
0－1：次品在C組中，次品特點已知。
問題轉化為“n－2找1次品特點已知”，稱重總次數為：
（其中：m下標n－2表示“n－2找1次品特點已知的次數”）
Ⅱ.次品在剩餘組中。
也即前兩步稱重出現：0－0的情況。
設剩餘組中的2個產品為：α和β。
①：（α）←→（β）
只有一種結果：1。
從A、B、C三個相同組中任選一合格品：γ。任與α或β進行對比稱重：
②：（α）←→（γ）
1：說明α是次品，根據①或②輕重已知；
0：說明β是次品，根據①輕重已知。
該種情況下：共稱重2＋2＝4次。
（六）最終結論：
（重要程度★★★★★）
（七）模型求解示例：
例1 29找1次品特點未知。
關於“n找1次品特點已知”的次數再次見下表，箇中道理請參閱前文《小學數學找次品問題的一種簡潔寫法》。
“n找1次品特點已知”的次數對照表
例2 28找1次品特點未知。
例3 27找1次品特點未知。
例4 4找1次品特點未知。
例5 10找1次品特點未知。
例6 3找1次品特點未知。
（八）補充說明：
1.本模型的應用分為三種情況（n mod 3＝0、1、2），總體而言，並不保證提供“n找1次品特點未知”的最優次數，但一定能提出“可行解”及具體“稱重實驗步驟”；
2.與“破組法”、“換組法”相比，本模型中各組彼此獨立，互不影響，實驗操作輕鬆，理解容易，採用了一種“簡便的模型”，但是，並不排除潛在的更優模型；
3.本模型發展了“公式A”的思路，期望用“額外1次稱重”與“正常首次稱重”獲知次品特點，並將次品範圍“從三組中縮小為其中一組”。亦可見：“公式A”的結果在3｜n（整除）的情況下與本模型結果完全一致；在3 ∤n（不整除）的情況下，當n值恰為3的冪次方加1、加2的情況下，“公式A”的結果會出錯。所謂“3的冪次方”指正常求“n找1次品特點已知”的次數的規律，詳見前文《……簡潔寫法》。
再會。
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