從研標讀本來引領教師的專業發展
董林偉
隨著初中數學新課程改革的不斷推進和深化，教師越來越感覺不會教書了：“教教材”與“用教材”到底是什麼意思?是不是“教教材”就意味著保守、落後?是不是“用教材”就可以任意處理教材?《全日制義務教育數學課程標準》(以下簡稱《標準》)要求數學課堂教學要以學生為主體，倡導自主、合作、探究的學習方式，課堂如果不讓學生動起來，如果不關注學生說什麼，那就不符合新課程的理念與要求。於是，情境多了，活動多了，形式也多樣化了，課堂也熱鬧起來了，但是隨之而來的問題與指責也多起來了，課堂教學的形式化、低效的問題等引起了人們對新課程的產生了懷疑，那麼什麼樣的數學課堂才是符合新課程的要求呢?
上好課教好書是一個數學教師必須具備的最最基本也是最為重要的職業要求。筆者從多年的數學課堂教學觀察感覺到，數學教師特別是已經成為本次課改的主力軍的青年教師，越來越象新課程的“粉絲”、“追新族”，只求形式上的一種時髦，表面上的教學繁榮，不能沉下心來苦練內功，這種現象容易導致教師的專業發展成為無源之水，無本之木。隨著要求課堂教學回到文本、回到教材、回到學科的呼聲越來越響亮，越來越清晰，我們更加覺得教師應重研課標、重讀教材，重新構築專業發展的重要基石。
一、理解《標準》，才能確保教學不迷失方向
《標準》是根據《中華人民共和國義務教育法》、《基礎教育課程改革綱要(試行)》制定的，其宗旨是推進素質教育的實施,培養學生的創新精神和實踐能力，促進學生全面發展。
《標準》明確了數學課程的性質和地位，闡述了數學課程的基本理念和設計思路，提出了數學課程目標與內容標準，並對課程實施提出建議。《標準》所提出的數學課程理念和目標對義務教育階段的數學課程與教學具有指導作用，所規定的課程目標和內容標準是每一個學生在該階段應達到的基本要求。《標準》是數學教學的基本出發點，在數學教學過程中，我們應當遵照《標準》的要求，充分考慮全體學生的發展，關注個體差異，因材施教。
1、要準確理解課程內容的內涵與要求
最近在組織的一次全省命題骨幹教師命題技術培訓活動中，有一項重要的內容是現場定向命題工作。其中第一組的第一道題是“命制一個小題(選擇或填空)，考查學生對概率基本概念的理解，難度0.9”，以此瞭解教師對“概率概念”的理解和把握程度。幾乎所有學員提供瞭如下的一類試題：
(1)在一個不透明的袋子中裝有10個除顏色外完全相同的小球，其中白球3個，黃球3個，紅球4個，小明摸出一個球，摸到紅球的概率是 .
(2)教室裡有三個電風扇A、B、C，分別由三個外形相同的開關控制.任意打開一個開關，正好打開A電風扇的概率是 ;任意打開兩個開關，正好打開A、B兩個電風扇的概率是 。
(3)從-1，0，1這3個數據中任選1個數作為點P的橫座標，再從餘下的數據中任選1個作為點P的縱座標，則點P位於第四象限的概率是 .
顯然，上述的三個問題都出了問題，將“求簡單隨機事件的概率”完全替代了“概率概念的理解”理解。不難想象出數學課堂教學過程的“概率概念”的教學是怎樣的一種情景了，學生出現“中獎概率是1/1000，那麼買1000張必有1張獲獎”這樣的一些常識性的錯誤也就不怪了。
對於概率的學習，重點是在具體情境下對其意義的理解，學生應在大量的隨機試驗中瞭解概率與頻率的關係，並能根據概率做一些簡單的決策。例如可以引導學生討論“明天的降水概率為80%”的涵義，學生通過討論將知道明天下魚的可能性比較大，雖然有可能明天不下雨，但帶傘應該是明智的做法。還可以進一步向學生解釋80%的含義：在100次類似於明天的天氣下，歷史記錄中大概有80天有雨。對於概率在數學上的嚴格定義，在初中階段不作要求。
由此可見，研究〈標準〉準確把握教學內容的具體內涵和要求，才能保證我們的教學不跑偏，不跑調，真正體現出課程的目標。
2、要從整體上把握課程內容的定位與目標
《標準》中對教學內容都有精確的描述，教師應仔細研究、反覆推敲其中的含義，特別是在《標準》整體的瞭解以及與原有的《大綱》對比的基礎上，才能更加把握新課程對這部分內容的具體的定位與目標。
例如“關於一元二次方程的概念與求解”，《標準》的闡述如下：(1)能根據具體問題中的數量關係，列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關係的有效模型。(2)經歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程。(3)理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法、解簡單的數字係數的一元二次方程。(4)能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。
與原《大綱》相比，《標準》在這部分突出了模型思想，關注了從具體問題情境中方程的抽取、檢驗等;增加了方程解的估計。《標準》為什麼要作這些改變?
新的數學課程將獲得知識與技能的過程本身也作為數學課程的重要目標。因此，許多數學概念(數、方程、函數、圖形等)，都是從人們生活和生產的需要中產生和發紮起來的，都是刻畫現實世界的數學模型，學生不僅要掌握它們，還要能在對實際問題的探索中抽象出這些模型，這就需要學生經理觀察、操作、歸納、概括、描述、交流等過程，這些過程本身就是概念學習應該達到的目標之一。在弄清這些變化的原因後，你就不難理解為什麼方程概念的教學的關注點是從現實背景中列方程，而不是方程的辨析了。
另外，我們還應該從第三學段”數與代數”的整體上去考慮這部分內容的變化與要求。因為《標準》降低了因式分解的要求，削減了二次三相式的十字相乘法，自然這裡也就不再要求利用十字相乘法解一元二次方程了。
課程中的具體內容並不是孤立的，而是有相互聯繫，相互影響的，有些內容在學生的學習階段呈現的是螺旋式上升。因此我們在實施課程時，應全面瞭解新課程產生的背景，新課程內容設置的意圖及其在整個初中乃至整個基礎教育階段的地位、作用與目標，才能在局部上準確把握教學的目標要求。
3、追求形式不能丟了數學的本質
一堂“軸對稱概念”上，老師精心準備了許多模型以及三角形的紙片，學生課前也準備好了正方形、長方形紙片，上課時人人動手摺紙，並採用小組討論、集中交流，在摺紙遊戲活動中似乎學會了軸對稱。可是，在一名學生在實物投影儀上無法對摺一個三角形圖形時，這個同學很疑惑，同學、老師也都沒有理會，一堂數學課就在熱熱鬧鬧活動中結束了。
從形式上看，這節課似乎體現了課改的精神，貫徹了新課程的理念，但我們發現學生對軸對稱的一些重要概念尚不清晰，上課時老師沒有重點講解，也沒有讓學生認識理解，在學生出現問題是也沒有抓住有利機會進行適時的進行引導和分析補充。熱鬧的課堂、多樣化的學習形式卻忽視了對數學本質的認識與理解。
新課程強調數學教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。教師應當準確把握教學內容的數學實質和學生的實際情況，確定合理的教學目標，設計一個好的教學方案，選擇適當的教學方式，因勢利導、適時調控、努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學習活動。但是，在追求新課程課堂教學的形式的同時，千萬不能丟了根本，這個根本就是數學的基礎知識、基本技能以及在過程中獲得的基本思想和方法，也就是要求教師需在深鑽細研數學課程標準的基礎上，準確理解數學內容的本質意義，準確領會課程內容的目標與要求，才能抓住重點，才能做到形式為本質服務。
二、研究教材、明白教材，才能用好教材教好書
《綱要》指出：教材改革應有利於引導學生利用已有的知識與經驗，主動探索知識的發生與發展，同時有利於引導教師創造性的教學。新課程實驗教材從內容到呈現方式都為教師創造性教學提供了發展的空間，這種創造性的發展空間對教師來說無疑是一種挑戰，一不小心就成了東施效顰、邯鄲學步，沒有吃透教材的創造容易成為一種“亂折騰”。
教材是學生所學知識的載體，它為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。教材是數學教學的媒介，是師生進行對話的“話題”，師生進行教學活動的目的不是記住“話題”本身，而是為了“話題”為中介進行交流，獲得發展。對一名數學教師來說，如果連教材的知識體系把握不準，對教材的編寫意圖琢磨不透，對教材的“話題”的意義與作用認識不清，如何能有目的地與學生進行對話、有意義地進行交流呢?
1、應瞭解一般新課程數學教材的基本特徵
數學教材的編寫的依據是《標準》，一般都具有以下的幾個方面的基本特徵：
(1)教材所選擇的學習素材比較好地體現與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實相聯繫，有利於加深學生對所要學習內容的數學理解。
(2)教材內容的呈現體現了數學知識的整體性。教材不僅關注了同一領域內容之間的相互聯繫，還注意到不同領域之間實質性的關聯，如採用混編的形式組織教材，或選擇若干個具體的課題以體現數學不同領域之間的聯繫，展示數學的整體性。
(3)體現重要的數學知識和方法的產生、發展和應用過程，引導學生進行自主探索與合作交流。如教材一般都採用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開，設立問題情境，以問題串的形式展開探索和交流，讓學生經歷“做數學”的過程;設置“做一做”、“想一想”、“議一議”等欄目，提供學生操作、思考、交流的機會，感受、領悟和應用基本數學思想和方法。
以上的一些編寫特徵，始終貫穿於任何一套經過教育部審定通過的實驗教材。從本質上說，教材充分體現了新課程的基本理念，體現了新課程數學教學的基本要求。在數學教學前全面瞭解教材這些基本特徵將有助於教師整理把握教材，實施教學。
2、要明白使用教材的編排體系與主要特色
新課程改革以來，我國中小學數學教材建設進入了“一標多本”的時代。由於《標準》中的內容標準是按照學段制定的，並未規定學習內容的呈現順序，教材可以在不違背數學知識體系的基礎上，根據學生的數學學習認知規律、知識背景和活動經驗，合理地安排學習內容，形成自己的編排體系，體現出自己的風格和特色。明白了教材的編排體系與主要特色，教師才能真正去實現教材編寫意圖，才能夠合理、科學地使用好教材，才能實現數學課程的教育目標。
(1) 瞭解教材編寫的指導思想
教材編寫的指導思想體現了編者對《標準》理念的認識、理解與把握，是編者引導教師實施《標準》理念且具有操作意義的行動指南。這些思想貫穿於教材始終，全面瞭解這些思想有助於教師全面瞭解教材的特點，整體上把握教學的總體方向與要求，有利於課堂教學的順利實施。
如“注重過程和數學思想方法”是江蘇科學技術出版社出版的初中數學教材(以下簡稱“蘇科版”)的編寫思想和特色之一。編寫者認為：“過程”是豐富多彩的，往往隱含了基本數學思想、體現數學的價值;結論是重要的，但結論的獲得離不開過程。因而，對於那些較好地體現基本數學思想的教學內容，教材適度地展開了過程。比如，展開有理數加法、乘法等法則規定的過程，引導學生感受分類、歸納等基本思想;用有理數近似地估計一元二次方程根的過程，引導學生感受“逼近”的思想;“選舉環保小衛士”的活動過程，引導學生經歷“收集數據、處理數據、做出決策”統計的全過程……等。另外，教材在“閱讀”欄目中，除了介紹一些數學史料和知識性的內容外，注重對滲透在“過程”中的基本數學思想，加以簡要的介紹。比如，本套教材先後提供了“分類”、“歸納”、“轉化”、“類比”、“互逆變形”、“全等變換”、“相似變換”……等閱讀材料，以幫助學生學會“數學思考”。瞭解編者的這些意圖無疑幫助實驗教師關注“過程”，並在初中階段分階段、有計劃地在這些過程中逐步滲透數學思想與方法。
(2) 熟悉教材內容的編排體系
每套教材都有自身的內容編排體系，這是編者建立在對課程的全面分析與考量基礎後構建的教材特色之一。這樣的體系一般不可以隨意改變相關模塊內容及順序，否則容易造成前後知識、要求等的錯位，以造成教學上的混亂。因此，熟悉教材的編排體系及其設計思路，將有助於幫助教師整體上了解教學內容的相關順序、相互關聯以及在不同階段的相關要求。
例如，“蘇科版”教材對“空間與圖形”中的主要關注點——推理與證明，有以下幾點考慮：一是合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，應當把它們有機地結合起來;二是證明的本質是通過有條理、符合邏輯的推理確認一個命題的正確性，而不是它的表達形式(如形式化的三段論證);三是幾何中使用簡化的三段論證，把“大前提、小前提、結論”的順序改變為“小前提、結論、大前提”，初學者難以掌握其中的因果邏輯關係。基於這樣的考慮，本套教材對“推理與證明”整體性設計如下：
l 在七(上)—八(下)三冊教材中，採用合情推理的方式探索《標準》規定的所有圖形性質，並在此過程中不斷引導學生學習“有條理的思考，有條理的表達”，弄請說理中的因果關係。這種“引導”，教材的呈現方式又分成4個不同的表達形式：
在七(上)中，用不分段的“因為…，所以…”說理(類似於日常生活中的說理);
在七(下 )中，用分行的“因為…，所以…”說理，分清因與果的層次;
在七(下)和八(上)中，用“根據…，因為…，所以…”(即“大前提、小前提、結論”)的方式，或“因為…，根據…，所以…”(即“小前提、大前提、結論”)的方式說理;
在八(上)中，用“因為…，所以…，理由是…”(即“小前提、結論、大前提”)的方式說理。
這種說理方式與“∵…，∴…(……)” 形式化的證明的表述基本一致，從而為學生進入演繹論證階段的學習打下堅實的基礎。
l 在八(下) “圖形與證明(一)”11.1—11.2節中，通過實際例子，引導學生感受證明的必要性; 八(下)11.3—11.4節及九(上)第3章“圖形與證明(二)”，則採用演繹推理的方式，證明曾探索得到的各類圖形性質，從而引導學生學會綜合法證明的書寫格式，感受公理化思想;同時注重引導學生逐步學會分析法、綜合法，體會反證法的思想。
l 在(1)、(2)的基礎上，教材在九(上)第4章“中心對稱圖形(二)”中，嘗試如下的方式編寫：先用合情推理的方式探索、發現圓的某些性質(如通過摺紙發現“垂徑定理”、“切線長定理”等);再用演繹推理的方法，通過證明“獲得同樣的結論”。這樣，力求使學生真正感受“合情推理與演繹推理都是研究圖形性質的重要方法，兩者相輔相成”，並學習用多種方法研究圖形的性質
不同的教材在處理同一內容時有不同的考慮，因而產生不同的編排體系。如關於“勾股定理與實數的順序”：
方式1：先學習開平方、無理數、實數等，然後學習勾股定理;
方式2：先學習勾股定理，然後在勾股定理的運用中發現開方開不盡的數，從而引入對這些數的研究，給出平方根概念，研究其與以前學過的數(有理數)之間的關係，從而引入無理數的概念。
兩種設計各有利弊，前者為學生的鋪墊很好，在利用勾股定理解決問題時順理成章，但不符合歷史的發展過程，難以揭示無理數研究的必要性，後者則與之相反。瞭解這些編寫意圖，有利於教師在教學過程中發揮優勢，也有利於教師採取一些必要的措施儘量彌補其不足。
(3) 明白欄目的定位與要求
欄目是數學教材對數學教學某種特定要求的具體體現，如““做”數學”是“蘇科版”教材編寫的一個重要特色。
“課題學習”是學生“做”數學的一種重要途徑。該套教材的“課題學習”由兩部分組成：一是每冊安排的一個“課題學習”;二是各章設置的“數學活動”——結合本章內容安排的1課時“數學活動”。
“課題學習”和“數學活動”的設計突出“動”和“用”兩個字，引導學生在活動中思考，更好地感受知識的價值，增強應用數學知識解決問題的意識;感受生活與數學的聯繫，獲得“情感、態度、價值觀”方面的體驗。
不同年級的“數學活動”，力求體現一定的層次性：七年級側重於“遊戲”、“調查”、“製作”;八年級側重於“調查”、“製作”、“設計”;九年級側重於“製作”、“設計”、“課題研究(研究報告)”。
根據各章節的具體教學內容，適當地採用引導學生“‘做’——感受和體驗——主動獲取數學知識”的方式呈現，即在學生通過“做”(參與活動)並獲得感受的基礎上，揭示具體“事例”的數學本質，然後再明晰有關知識。
此外，各章的“章頭”中，也結合本章內容設計一些與本章內容有關的簡單問題，引導學生藉助生活經驗或已有知識，通過“做”(操作、實驗等)探索解決問題的途徑和方法，從而激發學生學習本章的興趣。
又如教材設置了引導學生“做”數學的欄目——“數學實驗室”。引導學生通過“做”，感受數學;探索知識和結論;應用所學知識解決簡單問題。這個欄目各年級的大體要求：
七年級——感受(知識、方法、價值等)和體驗，會描述實驗過程中的數學現象，能尋找解決簡單問題的方法;
八年級——感受和體驗，驗證和發現一些簡單的規律或結論，設計和構造(簡單的幾何體、圖形、圖案、式子等)，會表述實驗的過程和結果;
九年級——探索實驗現象的聯繫和規律，在實驗過程中能反思和質疑，發展推理能力。
“數學實驗室”在教材的具體章節中的位置不同，它的教學功能也有所不同：在小節開頭——引導學生通過“做”感受數學;在小節中間——引導學生通過“做”探索知識和結論;在小節最後——引導學生通過“做”應用所學知識解決簡單問題。
只有理解了教材設置的這些欄目的用意與要求，教師才能在教學過程中採取恰當的方法與手段實現教材的意圖，真正在教學中落實課程的要求。
(4) 理解具體內容的設計思路
數學教學應避免把數學知識的應用變為單純的題型操作，而忽視解決問題中的數學思想與方法的錯誤傾向。在應用數學知識解決實際問題時，“蘇科版”教材進行了以解決問題的策略為主線、而不按“題型分類”的編寫嘗試。
例如關於“用一元一次方程解決問題”的內容，教材在七上4.3用方程解決問題中，問題1揭示了用方程解決問題的一般步驟;問題2用表格作為建模策略;問題3用線形示意圖作為建模策略;問題4用線形示意圖和表格共同作為建模策略，同時指出問題4也可以用環形圖來解釋相等關係;問題5可以用表格和圓形示意圖揭示總量與部分之間的關係;問題6則可用柱狀或線形示意圖來分析。
教材是教學改革的物化成果，是廣大編寫人員對新的課程標準的理解與詮釋，是教師成功教學經驗的總結，同時更是師生實現順利對話的文本。一套好的教材合理利用可以成為教師教學的依據，可以成為學生獨立鑽研自主學習的參考資料，可以成為教師指導學生學習的有效工具……
“教什麼”、“怎麼教”，《標準》與教材都是重要的標準與依據。這就要求我們必須重視對《標準》和教材的研究，只有理解《標準》、明白教材，才能使教師具有更寬的視野、更強的教學設計和控制能力，對大多數教師來說這也是一種專業水平提高的過程。
主要參考文獻
《全日制義務教育《數學課程標準》(實驗稿)》解讀 北京師範大學出版社
《義務教育課程標準初中數學實驗教科書》 江蘇科學技術出版社 楊裕前 董林偉主編
《有效的數學教學技能》 吉林大學出版社 董林偉 李善良主編
《數學課程設計》 高等教育出版社 劉兼等
《實現數學課堂教學有效性的思考與建議》 中學數學月刊07年第6期 董林偉
《和諧教育：以人為本的教育願景》 江蘇教育研究(理論版)08年第11期 董林偉
《當前數學教學值得關注的幾個觀念問題》 中國數學教育08年第9期 董林偉
本文發表於《中國數學教育》2009年第7期
人大複印資料《中學數學教與學》2009年12月全文轉載
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