數學有多美？

法國數學家Cedric Villani，菲爾茲獎得主

數學家曾被《華爾街日報》評選為全世界最好的工作。生活中、科技界，數學無處不在。我們可以用數學證明揭開“美”的神秘面紗，數學超越了公式，激發了我們對世界和宇宙的更多想象，通過數學，我們可以對這個世界有更好的瞭解與感知。

我們知道，愛因斯坦用物理學的方式簡化了很多東西與數學的關係。首先，他自己作為物理學家，將數學家和物理學家聯繫在了一起。其次，他用簡單的數學形式改變了我們描述世界、描述空間和時間的方式。第三，他同樣也建立起了數學和物理之間的橋樑。

事實上，有時候我們需要對數學深入研究，而有時候是對物理進行研究。我們找到的東西就在我們的頭腦中，而所有的這些都可以歸結到數學之美。數學中有很多非常讓人震驚的東西。

我們來看6年前，也就是2009年的時候，你認為所有的工作中最好的是什麼？《華爾街日報》的調查說，數學家是全世界最好的工作。之後，在去年，同樣的團隊重新做了這項研究，得出了相同的結論。

我試著解釋一下，為什麼數學家是最好的工作。數學家無處不在，並且有越來越多的數學家存在於我們的身邊、存在於技術中、存在於新的數學、老的數學中。並且，我們會將之前數學家的工作運用到新的研究工作中，我們還在用越來越多的數學工具來研究所有的物理學分支。

華爾街日報選出的最好工作及最差工作

在各個領域中，我們都在使用數學，它無處不在。有很多的數學已經進入了到我們的科技中，物理、化學、生物學都和數學緊密地聯繫在一起。我們來看建築學，數學在建築中發揮著非常重要的作用。在建築中我們發現了非對稱之美，比如說給定一個建築物，我們必須用計算機來模擬計算它的不對稱情況，以確保它不會出現坍塌。

法國著名奢侈品牌Louis Vuitton（路易威登）在巴黎Bois de Boulogne公園興建

我們看過一些經典的電影也是這樣。例如《地心引力》可能是最具有數學性的電影。在電影中，所有事物都得通過計算來重現。包括方程式、包括等式、包括像演員的臉都是通過數學算法模擬出來的。是數學讓這個電影成為可能。

電影《地心引力》劇照。圖中為桑德拉·布洛克扮演的宇航員瑞安·斯通博士

曾經在一個數學家大會上，一位好萊塢電影導演講到了這個現象。他說好萊塢的大片很多是運用了數學的原理才能夠製作出來的。但是數學不僅僅是做一個東西，或者說是解決一個問題，也不僅僅是製作一部電影，它意味著理解這個世界的奧秘，理解自然之美。從我們過去的古希臘數學，從過去的那些老的數學和工具，一直到現代的新的數學，數學讓我們理解真實和美麗的真諦。

我們可以看一下這些數學家和哲學家的面孔。他們一直在探索世界之迷，他們一直在發現，一直在探索。我們可以看到始於2000多年前的很多翻譯的著作。這五張圖片中都是最為睿智的數學家。

古希臘哲學家數學家，左起分別為：泰勒斯，畢達哥拉斯，歐幾里得，阿基米德，埃拉托色尼

泰勒斯，人們經常說的第一位哲學家；畢達哥拉斯，他認為世界充滿了數學之謎等待人們探索；歐幾里得，他寫了流傳兩千多年的《幾何原本》；阿基米德，他是數學天才的象徵，他的頭像被刻在了菲爾茲獎章上；埃拉托色尼，他用數學改變了我們描述這個世界的方式。

那麼數學究竟是什麼呢？數學歸根結底是一種推理方法。比如說我們在處理這個古希臘的三角形幾何的時候——順便提一句，這也是愛因斯坦最感興趣的一個話題，愛因斯坦對它的發展也作出了重大的貢獻——會發現數學無處不在，它可以讓你感受到美的存在。三角形有很多的奧秘，比如說我們從哪條線可以達到中心，如何去進行證明，等等。我們可以用美的數學證明，來解決美的自然奧秘。

三角形幾何示意圖

我們看一下亞里士多德對美是如何闡釋的：美的主要形式是一種秩序，是一種可公度性（編者注：也稱為可通度性或可通約性）和一種精準性。

右邊這位是法國數學家龐加萊，他說深刻的美來自於各部件的一種和諧的秩序。通過一種秩序，一種有序的推理和理解，我們能夠找到深刻之美。

亞里士多德與龐加萊

亞里士多德與龐加萊對美的闡釋

我們來看，在埃及有一個地方，在某一天太陽會垂直照射在物體上。數學家埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275年一前193年）就對太陽光的照射角度進行幾何的解釋和探索。由於正弦值和弧度值之間的差異，我們會發現在他的判斷中還有了2%的誤差，但這在兩千年前已經很不容易了。因為數學，讓希臘的科學家們很早就知道了地球直徑是39375公里這麼長。

埃拉托色尼測量地球直徑示意圖

數學讓我們有了更多的想象，它超越了這些公式本身，讓我們知道地球有多大，讓我們知道地球是圓的，可以從一端走到另一端。

容易發現上述的是一種對空間的測量。那麼如何測量時間呢？在很長的一段時間裡，對於時間的測量是基於一種機械性的測量，如下圖，它非常地聰明、精確，只有百分之一的誤差。但是一天可能誤差會有十分鐘。

早期機械錶示意圖

在17世紀，當考慮單擺的時候，伽利略（Galileo Galilei,1564-1642）發現其擺動週期是與擺體質量無關的。這個關係是非常美的。後來基於牛頓力學我們就可以得到如下圖左邊的關係式。我們可以進行極好的、極精確的計算，對此進行研究。但是有一天，他在想如何去使用這種方法來測量時間時出現了問題。我們知道當擺的幅度增大時，擺動週期會有輕微的不同。所以我們需要一個等時的曲線。

如下所謂的等時曲線（tautochronous curve），是由惠更斯發現的曲線。物體如果按照這個曲線的軌跡擺動，其週期不會隨擺動幅度的改變而發生變化。這是數學計算得到的結果。基於此，人們就可以得到更為精確的測量方法，比以往的任何時候都更加精確。這就是數學帶來的魅力。

單擺和惠更斯擺示意圖

Cedric Villani在向人們展示單擺

我們使用像惠更斯理論這樣的數學還可以做其他的事情，這將進一步提升我們使用數學的能力。比如說，我們仍然考慮地球形狀這個問題。牛頓當時也聽過這樣一個測量方法，通過他的微分方程我們發現對時間的測量是依賴於當地重力加速度的。下圖中通過在巴黎和在卡宴（法屬圭亞那首府，編者注）的測量，我們可以根據牛頓的理論得出地球的扁平率為0.5%，而實際上是0.3%。所以由此我們其實可以對地球的形狀做出一個更好的判斷。

由擺週期測量地球扁平率的示意圖

通過數學，我們可以對我們的世界有更好的瞭解與感知。我們看到了數學研究的巨大進步和對於時空測量的巨大進步。實際上這進步是和物理無關的，而和數學有很大的關係。

這裡值得一提的是曲線、曲率的概念。不管怎麼說，最初它是一個

他們的討論讓兩人發現，愛因斯坦需要的正是黎曼的理論，下圖中黑板上寫的就是他所謂的愛因斯坦方程，R代表的就是曲率。也許他們兩個人都沒有想到，這個方程式會對時空的測量起到如此巨大的作用。下圖中的GPS定位系統如果沒有廣義相對論的校正，將會產生～1米量級的誤差。這些理論非常地重要，為我們照亮了前行的路。

（從左到右）黎曼、格羅斯曼、正在書寫愛因斯坦方程的愛因斯坦，以及GPS定位儀

順便提一下，愛因斯坦本人並不能夠完全相信黑洞，雖然他的理論表明了黑洞的存在。這是數學的預言。

同樣的數學會與不同的事物發生聯繫。例如對於我來說，我做的一個研究的結果是，我發現了一些數學理論與很多經濟現象有著緊密的聯繫。比如說在一些工業中運送貨物時的優化問題中，我們也會用到黎曼幾何。

更有趣的是，在氣體理論中，很多不同的理論解決著不同的問題，但冥冥中也有一些聯繫。有很多的作者發現了這些聯繫，包括在那些與幾何相關的問題中。

我借用下圖這個惰性氣體實驗來說明。這是愛因斯坦當時非常喜歡的一個實驗。想象你有一些質量給定的氣體，從第零到第一分鐘，讓這些氣體從一個狀態轉變到另外一個狀態。這些氣體的運動方式將消耗最少的能量。在它們轉變的時候，你用波爾茲曼的理論來測量它們的熵，會發現它是一條上凸的曲線。這種對正曲率的描述方式與我們常見的愛因斯坦的方式是完全不同的。

惰性氣體實驗示意圖與熵隨實驗的函數關係圖

再舉一個例子來說明不同事物之間的聯繫。現在我們知道，黎曼如此有名，提出了很多理論，他死後，他的理論在很多地方仍然有應用，且互相之間有著很多的聯繫。他死的時候40歲，活得如此短，而他本人卻是一個非常浪漫的、富有啟示性的人物。不管你信不信，我看到過一個非常有名的搖滾歌手曾經說，當他缺乏靈感時，他就會查看帶黎曼二字的學術名詞。這真是件有趣的事情。

黎曼墓碑與部分由他名字命名的學術話題

我想最後總結一下。科學的結果是非常令人興奮、鼓舞人心的，並且我們一直在研究，一直在研究，看不到終點。我經常會想我為何這麼蠢，有這麼多、各種各樣的解決不了的問題。我最後發現，這完全是一團糟，有的時候我們的實驗會被打斷，有的時候我們並不瞭解自己在做些什麼，有的時候我們會找到一個有用的理論然後發現五十年之前已經有人想過了，等等。完全是一團糟。

Cedric Villani做研究時候的照片，以及他所認為的科研過程示意圖

Cedric Villani

法國數學家，2010年菲爾茲獎得主

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