直觀理解虛數
虛數的概念也曾困擾著我，這些概念看起來太過平常，不求甚解的人可能會覺得這都是數學家的事，或者會對著自己一臉好奇的孩子說“等你長大了就懂了”，許多孩子童年的求知慾受挫可能都是來自於家長的這一句話看似安慰的話。所以，如果不主動去了解，不僅自己會錯過很多醍醐灌頂的機會，還會影響下一代。
在說虛數(Imaginary Numbers)之前，應該先提大家更加熟悉的一個概念，那就是負數(Negative numbers)。負數的概念在小學數學裡就有介紹，也就是說，小學生也應該能夠自信地進行負數的各種運算，但是在公元18世紀以前，即使是當時歐洲著名的數學家，想讓他理解“負數”這個概念也並不容易。
“負數”在當時被認為是荒謬的，就像公元500年之前，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯(Hippasus)發現無理數（也稱為無限不循環小數，如自然常數e，它們都無法寫成兩個整數之比）一樣。
Hippasus
公元前5世紀，畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，世界上只有整數和分數(有理數)。而希帕索斯卻發現了令人震驚的“無限不循環小數”，即無理數，令該學派感到恐慌，並引發了第一次數學危機。有傳言說最終希帕索斯被自己的老師畢達哥拉斯(Pythagoras)判決淹死。也有說法是被學派門人丟進海里淹死。
當人們在直觀感受遭遇挑戰的時候，人們往往先選擇拒絕。
例如，當時的人們可以很直觀地理解，如果你家有4條狗，後來送給別人家3條，你還剩下1條，4-3=1。但如果說你家有3條狗，然後送給別人家4條狗，那這是什麼狗？！
所以，人們無法直觀上理解的計算方法在當時是不能被接受的。以致於，1759年英國數學家Francis Maseres，也會說：“Negative numbers darken the very whole doctrines of the equations.（負數使關於方程的所有學說變得毫無意義，即認為負數沒有意義）”。
Francis Maseres
即使是歐拉(Leonhard Euler)，也為“負數”的概念糾結了好一陣。不過現如今，認為負數“無用”或“不合邏輯”才是真的荒謬。
那為什麼人們對負數的理解發生了180°的大轉變呢？因為我們發明了一種具有有用屬性的理論上的數字，負數並不能很好地用來描述我們看得見、摸得著的可直觀感受的事物，但卻能很好地描述某種關係。
例如“債務”。人們會在日常支出中記錄各種交易信息，如果欠別人50元，你會記錄-50，在賺了100元以後，可以直接用100+(-50)=50來計算屬於自己的錢，而不需要更多的文字描述，負數已經將這種關係植入其中，既然有這種屬性，又有什麼理由說它是無用的呢？可見“關係”的重要性~
虛數也有相似的命運，從其名字就可以看出似乎受到過很不公正的待遇。一元二次方程x 2 =1有兩個解，x=1和x=-1。那對於方程x 2 =-1呢？在解之前，我們不妨先假設x 的解存在，就像負數一樣，奇怪的概念往往其實有其自身的價值。
對於方程x2 =-1，其實可以寫成x·x·1=-1。我們將 “用x乘 ” 看成是一種“變換”，通過兩次這種變換，我們最終將1變為-1。但我們不能通過和兩個正數的相乘抑或是和兩個負數的相乘來實現1到-1的轉變，“變換”並不改變問題本身，而只是改變了看待問題的角度。
但是如果這種變換是旋轉呢？把數軸從一維擴展到二維，1 到 -1 的轉變就是繞著原點旋轉 180 度，而這正是在兩個“用 x 乘”作用以後的結果。可以想見，x 是不是對 1 的作用就意味著逆時針旋轉 90 度。
而這個座標系構成的平面也稱為“複平面（橫軸為實數軸(Real Dimension)，縱軸為虛數軸(Imaginary Dimension)）”，並用字母i 作為該情況下x 的解，用來特指“逆時針旋轉90°角”的變換。
(圖片來源: betterexplained)
那如果想順時針旋轉90°呢？
答案是：乘以-i 就行了。
(圖片來源: betterexplained)
而且如果乘以兩次-i，和乘以兩次i 一樣，得到的也是-1。
如果分別乘以0次、1次、2次、3次、4次、5次i ，可以得到：
可以得到以下結論：
1=1（毫無疑問）
i =i （感覺是句廢話）
i 2 =-1（上面已經說明了原因）
i 3=(i·i )·i=-1·i=-i（三次逆時針旋轉90°，相當於順時針旋轉90°）
i 4=(i·i )·(i·i )=-1·-1=1（四次逆時針旋轉90°，回到初始位置，循環結束）
i 5= i
4·i=i（開始下一循環，逆時針旋轉90°）
(圖片來源: betterexplained)
同時，上圖也不知不覺地將數從一維的實數域拓展到了二維的複數域，即實數與虛數的組合。或者說：複數=實部+i ·虛部。例如，一個複數Z 的實部為1，虛部也為1，則可以得到複數Z =1+i。
複數Z 可以看作是複平面上的點(1,i )，如下圖。即沿著實軸方向前進1，沿著虛軸方向再前進1，其在實軸與虛軸上的投影值即為實部與虛部的值，其長度或“模(Modulus)”為該點到原點的距離根號2，該點與原點連線後與實軸正方向的夾角為45°，該角度稱為幅角(Argument)。既然又有長度又有方向，因此複數也就可以看做是複平面上的一個矢量。
(圖片來源: betterexplained)
為了描述複平面上的任意一點，可以寫成更為普遍的形式：
其中，a 和b 分別稱為複數Z 的實部和虛部。
而Z 的長度或“模(Modulus)”為
Z 點到複平面圓心處的距離：
Z 的幅角為
下面進行一個複數的計算實例，需要記住的一點是：兩個複數相乘的結果就是：讓它們的模長相乘得到最終的模長，讓它們的幅角相加得到最終的幅角。
假設我們在一艘帆船上，現在帆船的航向是東北向，且每向東前進3個單位就會向北前進4個單位，如果現在想改變航向，使其沿逆時針方向旋轉45°，那新的航向是怎麼樣的？
(圖片來源: betterexplained)
如果放在複平面上，船的位置在圓心處，那麼當前的航向可以直接用複數表示，即3+4
i。如果想逆時針轉45°可以讓該複數與1+i 相乘，因為1+i 的幅角正好等於45°。計算過程為：
畫出圖就很直觀了，新的航向是每向西前進1個單位就會向北前進7個單位。
(圖片來源: betterexplained)
幅角為tan-1(7/-1)=98.13°。
注意，如果要保持航速不變的話還需要在上面計算結果的基礎上再除以根號2，因為複數1+i 的模為根號2。
既然複數自帶旋轉屬性、有大小、有方向，而正是虛數的存在才將一維的實數域提升或者說擴展到了二維的複數域，那麼還有什麼理由說虛數很虛呢？
Reference
[1] Hippasus, https://en.wikipedia.org/wiki/Hippasus
[2] Francis Maseres, https://en.wikipedia.org/wiki/Francis_Maseres
[3] A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers
https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
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