到處都是偷懶的人
【題目】
（2018•宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF摺疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交於點P，設BE=x．
（1）當AM=1/3時，求x的值；
（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；
（3）設四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數表達式，並求出S的最小值．
【答案】
解：（1）如圖，在Rt△AEM中，AE=1﹣x，EM=BE=x，AM=1/3，
∵AE²+AM²=EM²，
∴（1﹣x）²+（1/3）²=x²，
∴x=5/9．
備註：摺疊問題求線段長，設未知數勾股定理列方程。
（2）△PDM的周長不變，為2．理由如下：
【方法一】
如圖，過點G作BG⊥MN於點G，
易得△ABM≌△GBM，
得BG=AB=BC，AM=MG，
再得△CBP≌△GBP，
得CP=GP，
所以△MDP的周長：
C=MD+DP+MP
=AM+MD+DP+PC
=2．
【方法二】
AM=y，則BE=EM=x，MD=1﹣y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²+AM²=EM²，
（1﹣x）²+y²=x²，解得1+y²=2x，
∴1﹣y²=2（1﹣x）
∵∠EMP=90°，∠A=∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴(AE+EM+AM)/(DM+MP+DP)=AE/MD，
即(1-x+x+y)/(DM+MP+DP)=(1-x)/(1-y)，
解得DM+MP+DP=(1-y²)/(1-x)=2．
∴△DMP的周長為2．
備註：45°半角模型。
（3）作FH⊥AB於H．則四邊形BCFH是矩形．連接BM交FN於O，交FH於K．
在Rt△AEM中，AM=√(x²-(1-x)² )=√(2x-1)，
∵B、M關於EF對稱，
∴BM⊥EF，
∴∠KOF=∠KHB，∵∠OKF=∠BKH，
∴∠KFO=∠KBH，
∵AB=BC=FH，∠A=∠FHE=90°，
∴△ABM≌△HFE，
∴EH=AM=√(2x-1)，
∴CF=BH=x﹣√(2x-1)，
∴S=1/2（BE+CF）•BC
=1/2（x+x﹣√(2x-1)）
=1/2[（√(2x-1)）²﹣√(2x-1)+1]
=1/2（√(2x-1)﹣1/2）²+3/8．
當√(2x-1)=1/2時，
S有最小值=3/8．
備註：摺疊得垂直平分，正方形中十字形線段長度相等。易得本題面積為二次函數的表達式，當M與A重合時面積為正方形的一半，當M與點D重合時面積也是正方形的一半，易得當M在AD的中點時面積取最值。
【題目溯源】
拓展
宿遷，簡稱‘’宿”，別稱水城，古稱下相、宿豫、鍾吾、從德，江蘇省地級市，是沿海地區向中西部輻射的重要門戶城市 ，徐州都市圈、江淮生態經濟區核心城市 ，一帶一路節點城市、淮海經濟區中心城市之一、中國重要的電子商務中心，是沿東隴海線經濟帶、沿海經濟帶和沿長江經濟帶的重要戰略支點 。
宿遷地處長三角北翼、江蘇北部，坐擁駱馬湖，洪澤湖兩大淡水湖，享有“華東淨土、江蘇氧吧”的美譽，截至2017年，宿遷下轄2個區、3個縣，總面積8555平方公里 。
宿遷是西楚霸王項羽的故鄉，有著5000多年的文明史和2700多年的建城史 ，曾是泗水國、鍾吾國、宿國都城，歷史悠久，人文薈萃，素有“華夏文明之脈、江蘇文明之根、淮河文明之源、楚漢文化之魂”之稱。境內下草灣文化遺址，是世界生物進化中心之一，也是人類起源中心之一，被譽為地球上的"生命聖地" 。
宿遷自古便有“北望齊魯、南接江淮，居兩水（即黃河、長江）中道、扼二京（即北京、南京）咽喉”之稱 。乾隆六下江南五次駐蹕於此，讚歎宿遷為“第一江山春好處”。中國大運河宿遷段及乾隆行宮遺產點入選世界遺產名錄。
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