方程
方程中文一詞出自古代數學專著《九章算術》，其第八卷即名“方程”。“方”意為並列，“程”意為用算籌表示豎式。不過《九章算術》裡的方程的含義與我們現在所講的方程不同，它專指由線性方程組的係數排列而成的長方陣。現在方程表示含有未知數的等式。
九章算術
意大利人對代數歷史具有濃厚的興趣，這與意大利早期數學的工作有關，1494年，意大利數學家帕喬利《算術幾何及比例》一書出版，書中包羅了當時歐洲各種數學知識。他跟隨繆勒用代數法研究幾何問題，曾任維也納教授，在歐洲許多地方講授數學，特別有聲望，帕喬利雖然會解一、二次方程，但卻不會解高於二次的方程，他甚至認為高於二次的方程是不能解的。這一結論反而激發了數學家們研究三、四次方程的興趣。三、四次方程很快成為16世紀數學研究的中心。16世紀最壯觀的數學成就估計就是意大利數學家關於三、四次方程的研究。這一工作使得文藝復興時期的代數方程論取得了長足的進展。
意大利數學家帕喬利
二次方程求根歷史
一、古巴比倫解法
大約在公元前1894--前1595年的巴比倫全盛時期，最早出現了二次方程解法的求根公式。如美國耶魯大學巴比倫藏品編號為ybc6967的一塊泥板上，記載了一道數學題。大意是兩數互為倒數，二者的差是7，求這兩個數。另一個類型是“兩數之積是a,兩數之和是b（a,b為正）,求這兩個數”。如果列出方程組（用現在方法），再消去一個未知數，得出如下結果：
因為當時人們未認識負數，只取了一個正根。但是古巴比倫是怎樣推導出以上公式，沒有記載。
二、古代中國解法
我國古算《周髀算經》（公元前2世紀）註譯者趙爽的“勾股圓方圖”，《九章算術》勾股章第11題，以及劉徽《九章算術注》都用幾何法推導出了求根公式（b,c為正），用現在符號表示如下：
三、古代印度解法
古印度數學家阿耶波多、婆羅摩笈多、斯里特哈勒等也先後得出如下求根公式(a不為0，只取正根)
四、阿拉伯人解法
完全一元二次方程求根公式最後完成應該歸功於阿拉伯數學家花拉子米，他從《代數學》中給出如下公式。並且花拉米子用幾何方法給出了兩種證明。
花拉子米
為了尋找一般一元二次方程的求根公式，人類花了約2000多年，最後由花拉子米徹底解決。說一說花拉子米，他科學研究的範圍十分廣泛，包括數學、天文學、歷史學和地理學等領域．他撰寫了許多重要的科學著作。公元825年左右編輯著成了《代數學》，比較完整地討論了一次、二次方程的一般原理，並首次在解方程 中提出了移項和合並同類項的名稱，書中還承認二次方程有兩個根，容許無理根的存在．他把未知量叫做‚根‛，從而把解方程叫做‚求根‛，西文‚Algebra‛（代數）就是從這本書的書名演變而來的．故人們稱花拉子米為“代數之父”
三次方程求根歷史
三次方程的問題出現的也很早，如古巴比倫泥板上的一道題：求給定體積的長方體的長、寬、高，其中長是高的12倍，而寬與高相等。解此問題要用到簡單的三次方程。
在三次方程求根公式出現之前，對三次方程有兩種解法。第一種是11世紀中亞地區數學家海亞姆提出的通過曲線交點來求出三次方程根的方法。但當時還沒有座標系的概念，他採用畫拋物線和圓的方式求三次方程的根。這個方法不僅在代數史上有重要地位，而且在幾何上也很有意義。第二種是印度數學家婆什伽羅使用的方法，先將方程兩邊配成完全立方，然後兩邊開立方的方法，他不知道三次方程有3個根，因此他只取了一個根。
直到16世紀以前，歐洲數學儘管有不少發展，出現了斐波那契和帕喬利等一批數學大師，但在解方程的方法上並沒有超越前人。
不過16世紀情況發生了很大變化，意大利波侖亞的數學教授費羅在1500年左後解出了形如下的三次方程。
但他並沒有將他的方法發表，因為當時有一種風氣，數學家常把自己發現的獨特方法隱藏起來，然後依此向別人挑戰，以便獲得榮譽。當時知道費羅方法的只有他的女婿那發和學生菲俄，而且還是他去世不久前才將秘密傳授給他們的。
1535年左後，威尼斯一位數學教授塔爾塔利亞聲稱找到了如上三次方程的解法。當時費羅已經去世，費羅的學生菲俄得知後很不服氣，於是，他向塔爾塔利亞提出挑戰，雙方約定30天內解出30個3次方程，以解出多者為勝。由於塔爾塔利亞掌握了不少類型三次方程解法，因此他只花了2個小時就把30道題解完了，而菲俄卻一籌莫展。而後塔爾塔利進一步研究更一般的三次方程，1541年他成功了。
塔爾塔利亞
塔爾塔利亞原名豐坦那，自學成才。幼年時英法交戰，法軍殺死他的父親，塔爾塔利亞頭部受傷，導致他有語言障礙，因口吃被稱為塔爾塔利亞（意大利語，結巴）。他本人也以此名發表文章。
1539年，米蘭的醫生和學者卡爾達諾以保守秘密為條件騙取了塔爾塔利亞的解法，並將其發表在他的著作《大術》中，儘管卡爾達諾也寫明瞭方法的來源，可失信的行為還是激怒了塔爾塔利亞。由於《大術》的影響，三次方程的解法被稱為“卡爾達諾公式”。其解法思路如下：
對於一般的三次方程是可以變為如上形式的。所以此法適用於所有三次方程。《大術》問世後，遭到塔爾塔利亞的譴責，他向卡爾達諾宣戰，沒想到卡爾達諾的學生費拉里出面把塔爾塔利亞擊敗。
四次方程求根歷史
在三次方程被解決不久，一般四次方程的解法也出現了，1540年，意大利數學家達卡伊向卡爾達諾提出一個導致四次方程的問題，雖然卡爾達諾沒有解決，但他的學生費拉里卻成功解決了他。並收入卡爾達諾的《大術》中，稱為解四次方程的費拉里方法。這個公式儘管非常繁瑣，但至少說明四次方程是存在求根公式的。
費拉里
關於解四次方程的費拉里方法，簡要敘述如下圖：
四次方程的費拉里方法
更高次方程代數解
數學家們發現，解一般四次方程總依賴於一個三次方程，是否可以將一般五次方程的解歸結為解四次方程呢？歐拉大約在1750年進行嘗試，但結果失敗了。法國的拉格朗日約於1770年完成《關於代數方程解的思考》一文，明確指出“不可能用根式解四次以上方程的”。他的學生魯菲尼也證明了這樣一個事實：一般五次或五次以上的方程不可能用方程係數的根式表示。後來挪威數學家阿貝爾也獨立證明了一般五次方程不可能存在求根公式，但什麼樣的特殊方程能夠用根式表示的判斷沒有解決。不過，這個問題被法國數學家伽羅瓦解決了。
伽羅瓦
探索數學的道路是無止無境的，求解方程只是數學的一小步，但沒有這一小步，人類未來將邁不出一大步。
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