作者 | 王善平
來源 | 《科學》，54卷5期，2002年
克萊因與《古今數學思想》
克萊因（M. Kline）於1972年出版的《古今數學思想》（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times），曾被西方學者評為是“最好的數學史著作”[1]。1970年代末，北京大學數學系的教師們把它譯成中文後，在我國也產生了相當大的影響。
《古今數學思想》（全三冊），[美]莫里斯·克萊因 著，上海科學技術出版社，2014年.
克萊因出生在美國布魯克林的一個會計家庭。1936年以關於拓撲學的論文獲美國紐約州立大學博士學位。但他後來轉向應用數學，這是因為受到著名數學家庫朗（R. Courant）的影響，後者由於希特勒政權的排猶政策而離開德國，於1934年來到紐約州立大學，後來為該大學建設了一個強大的數學系並創立了一個應用數學研究所。克萊因曾任庫朗的助手，並主持庫朗數學研究所的電磁學研究室多年。
克萊因同時也是位享有盛譽的數學教育家，他的《教授為什麼不會教書》和《小約翰為什麼不會加法》等著作對大學數學教學和“新數學運動”提出了直言不諱的批評。
就像克萊因在序言中所表明的，他的《古今數學思想》是為做研究的專業數學家和在學習的未來數學家寫的，使他們能夠了解自己所研究的課題或所學習的科目在整個數學中的位置以及它們形成和發展的歷史過程，從而明確前進的方向[2]。克萊因還說過，該書並不是數學史的教科書，而是供專家們必要時查閱並提供廣泛背景知識的參考書[3]。以上的主導思想決定了該書具有不同於一般數學史著作的一些特點。
專業性根據原始文獻按照本來面目闡述各種數學思想是如何形成和發展的；如克萊因所說，“此書在某種程度上也可以看作是用歷史的方式介紹數學；這當然是（讓讀者）理解和欣賞數學的最好的方式之一。”[2]
內容廣闊論述了從古巴比倫和埃及到20世紀初這大約五千年的重大數學創造和發展；著重介紹那些最突出的和最有影響的主流工作。鑑於16、17世紀以後數百年的數學發展遠遠超過以往，所以這段時期的內容佔了整本書約五分之四的篇幅。
史料翔實使用最可靠的原始資料並列出了大量的參考文獻，為讀者做進一步研究提供便利。
在中國，由於直接獲取國外的原始資料有較大的困難，因而許多人把《古今數學思想》當作研究外國和近現代數學史的重要資料來源。查國內最近20多年來有關的論文，可以看到該書被經常引用，該書對中國數學史研究影響較大。
數學的起源
正如許多人士已指出的，《古今數學思想》有一些明顯的侷限，其中之一就是“歐洲中心”的偏見[4]：認為真正的數學始於古典希臘，然後經過千年停滯，再從歐洲文藝復興開始發展。克萊因評論“希臘人在數學史中的地位至高無上”[2]，在此以前的巴比倫和埃及人只有簡單粗淺的數學；至於中國、日本和瑪雅人，則因為“他們的工作對數學思想的主流沒有什麼影響”而在書中被忽略[2]。
克萊因的觀點和做法已招致多方批評，在此不再重複。本文只想強調：應該以實事求是的態度，平等地看待古代各大文明，只有這樣才能夠較好地理解數學的起源和發展。事實上在各大文明中數學的起源和發展過程有很多相似的地方，並且它們的不同之處也可以被合理的解釋。
史料和研究表明，人類在一萬年前的新石器時代已經掌握計數和識別一些幾何圖形。但是直到大約四五千年前才開始產生真正的數學。這時人類進入了農業社會，發明了文字和建立了國家：農業要求準確地掌握時令、丈量土地、興修水利；國家則要進行復雜的商品交換、財富分配和稅賦攤派；這些都需要數學；而文字使得數學知識得以交流和積累。
最早形成的是以測量為主的幾何學，值得注意的是它與水患密切相關：埃及的幾何學起源於尼羅河氾濫后土地的重新測量，那些測量人被稱為拉繩者[5]；在中國，據《周髀算經》記載，大禹治水（約四千年前）用矩作深、高、遠的測量因而產生了勾股術[6] 。
《周髀算經》其書，來源網絡
由於尼羅河很久以來每到一年中的6-10月就要氾濫，所以年復一年地在平面土地上用拉繩進行測量，很自然會對幾何圖形中點、線、面的一般性質和關係有較多的瞭解和研究；埃及的幾何學後來傳到希臘，後者結合他們發達的邏輯學，最終創立了公理化的歐幾里得幾何學。而大禹治水僅用了13年，消除洪患後的田地可以長期保持規則的形狀，如象形字“田”。於是計算基本圖形（如矩形、方體和圓）或它們的截切圖形（如直角三角形、鱉臑、陽馬和牟合方蓋）的幾何量（如邊長、面積和體積）成為中國幾何學的主要課題；勾股術則發展成為完整的直角三角形相似理論。另外，建造陵墓（如埃及金字塔）和祭壇（在印度和希臘）也是幾何學的重要來源。
代數起源於用加減乘除和開方解決實際應用問題，如幾何量的計算、天文測量、實物分配和純數量的確定等，其中關於平面直線圖形和空間直面圖形中各種關係量的計算佔據著中心的地位。
在已發現的、屬於四千年前巴比倫的楔形文字泥石板上，記載著大量的諸如矩形的邊長和麵積之間關係的代數問題，其解法與現代解一元二次方程的方法一致。中國的
趙爽（約公元200年）為《周髀算經》作的注中，給出了直角三角形的三邊勾股弦之間的一系列的代數關係。古希臘歐幾里得的《幾何原本》（約公元前300年）第二卷實際上就是用幾何學的語言敘述代數問題，史稱“幾何代數”[2,7]；而丟番圖的《算術》（約公元250年）被認為是古希臘代數學的最高成就，其中把數自乘稱為“平方”、自乘兩次稱為“立方”的叫法流傳至今。代數對於幾何的依附是長期的，第一部《代數學》的作者阿拉伯學者花拉子米（al-Khowarizmi，約780-850）仍然在用幾何方法來證明他的代數結果[7]。直到19世紀代數學才完全擺脫現實世界的限制，成長為一門完全獨立的學科。計算圓、球以及它們的各種截切圖形或生成圖形的有關幾何量（如圓周率、球表面積、球體積和圓錐體體積等），在古代數學研究中一直佔據重要地位。各大文明中都有傑出的數學家為之做出貢獻，如希臘的阿基米德，中國的
劉徽、祖沖之和祖𣈶之，印度的婆什迦羅以及日本的關孝和等。這類計算或明或暗地使用了無限分割的概念，實是17世紀後迅速發展的以微積分理論為核心的分析學之濫觴。圓錐曲線理論是希臘人獨特的創造，它起源於對著名的三大幾何問題化圓為方、倍立方和三等分任意角的研究。阿波羅尼斯（Apollonius，約前262-前190）的《圓錐曲線論》與歐幾里得的《幾何原本》一樣，集中了希臘數學的精華[2]。令人驚奇的是，兩千年後德國天文學家開普勒發現行星運動的軌道就是以太陽為焦點的一個橢圓！這導致牛頓發現了萬有引力。科學史上一個有趣的問題是，如果沒有希臘人的圓錐曲線理論，是否可能發現萬有引力？還會不會出現現代科學和現代社會？圓錐曲線理論後來被分析學完全容納。
《圓錐曲線論》，來源網絡
幾何、代數和分析這三大數學學科，不約而同地產生於各大文明中，雖然具體內容有或多或少的差別。這三門學科剛開始時糾纏在一起，難分彼此；但後來逐漸分離，各自發展成為獨立的數學分支。五千年來數學經歷了千變萬化，幾何、代數和分析的發展與相互作用則是貫穿始終的主旋律。
幾何學的發展
幾何學發展的一個方向是形數結合：關於平面和立體簡單圖形的面積、體積的計算早已轉化為代數問題；而法國人笛卡兒和費馬引進座標幾何後，把整體幾何都代數化了：直線和平面被表為線性方程，圓錐曲線表為二元二次方程，而計算圖形的面積、體積轉化為求函數的積分。從此代數學和分析學成為研究幾何的主要工具。
幾何圖形用代數方程、函數映射以及微積分方程來表示，結果產生了大量的更一般的圖形，為研究這些圖形又發展了新的數學分支：利用導數研究圖形的切線、曲率等局部性質導致微分幾何學的產生；為研究代數方程的圖形而形成了代數幾何學，其中關於一種二元三次方程圖形的研究叫
橢圓曲線理論，它在現代數學中的重要性堪比歷史上的圓錐曲線。幾何學的另一個發展方向是探索和研究空間的性質；其中最有深遠意義的一步是發現非歐幾何。歐幾里得《幾何原本》中作為第五公設的平行公理長期受到懷疑，不斷有人試圖用其他幾何公理把它證明出來卻總是徒勞無功。直到19世紀，匈牙利人波爾約（J. Bolyai）、德國人高斯和俄國人羅巴切夫斯基各自獨立地認識到這樣的證明是不可能的，他們用不同的公理代替平行公理，從而得到非歐幾何。
波爾約、高斯、羅巴切夫斯基，來源網絡
發現非歐幾何的意義遠遠超出幾何學本身：它粉碎了哲學家康德關於歐氏幾何是空間的先驗綜合真理的論斷；幾千年來幾何學作為數學可靠性基礎的信念被動搖，數學家們開始為數學打造算術化的基礎，這些都反映在以希爾伯特、布勞威爾（L. E. J. Brouwer）等為代表的數學基礎和數理邏輯的研究工作中。
就幾何學本身來說，平行公理是關於空間整體性質的一條命題，非歐幾何的發現表明並不能簡單地根據空間的局部性質來判斷整個空間究竟如何。德國人黎曼為了探究局部滿足歐氏幾何的空間可能會有怎樣的結構，創立了黎曼幾何。它後來成為愛因斯坦廣義相對論的基礎。
然而產生了流形的概念：在流形上每個局部可以用笛卡爾座標刻畫，但其整體的結構卻千差萬別。把歐氏空間中經典的方法和成果推廣到可微流形，成為微分幾何學的重要課題：
外爾（H. Weyl）、嘉當（E. J. Cardan）等人引進了聯絡的概念，這是歐氏空間中導數和微分的推廣；韋伊（A. Weil）、陳省身等人把經典的高斯-博內定理推廣到黎曼流形；為研究流形上的幾何結構，陳省身等人發展了纖維叢理論，它後來被發現與物理學的規範場論不謀而合。通過考察圖形或流形的種種映射性質並結合代數工具對它們分類，這種研究圖形和流形的新方法叫做拓撲學，它由法國人龐加萊開創。維數、同胚、同倫、同調、連通、虧格等拓撲語言，在20世紀的數學文獻中隨處可見。龐加萊猜想說，單連通的三維閉曲面必與三維球面同胚。這一猜想的三維情形已被俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼於2003年左右證明。
代數學的發展
花拉子米發明了 algebra（代數學）這個詞，其意指“還原”（相當於在等式兩邊去掉負項）和“對消”（相當於在等式兩邊消去或合併同類項），這個詞反映了代數的運算特徵。而中文譯名“代數”為英國來華傳教士偉烈亞力（A. Wylie）所創，按字面意思可以解釋為“（用符號）代替數字（未知量或常量）”，這反映了代數的符號化特徵。
代數學在成為一門獨立的學科之前，必須走完關鍵的兩步。
第一步是符號化。其中最重要的是未知數的符號化，它的意義在於承認未知數同已知數一樣是一種存在的實體，從而不必把它解出來就可以對它進行研究，以瞭解它的種種性質。在古代中國和日本，曾經發展了一元高次方程的開方術，即求方程根的數值解的方法，這些方法並不關心方程可能有怎樣的性質。這是開方術與以後的根式解研究的本質區別。
未知數符號化的嘗試先後出現在古代的不同國度中：例如印度人婆羅摩笈多（Brahmagupta）曾用不同的顏色表示不同的未知數[5] ；在中國宋元時期，李冶用“天元一”表示一個未知數，而朱世傑則用天、地、人、物四元來表示四個未知數。現代人用字母表示未知數和已知數，並用“+”、“－”、“×”、“÷”、“=”等記號，這些都是在15-17世紀期間逐步形成的。
第二步是數系的擴展。這方面的進步也非常緩慢。雖然早在兩千年前，中國的《九章算術》中已有完整的分數計算，同時希臘人已經掌握了無理數；但是直到18世紀人們對負數的性質還不甚清楚，並且懷疑複數的存在[2]；一直到該世紀末高斯證明了代數基本定理，人們才接受了研究代數所需要的全部的數。自此以後，代數學擺脫了對現實世界的依賴，開始了獨立的突飛猛進的發展。
代數學發展的一條主線是一元代數方程根式解的研究。雖然早在四千年前巴比倫人就會用配方法解二次方程，但是直到16世紀意大利的數學家才發現根式解三、四次方程的一般方法。19世紀，阿貝爾證明用根式解一般五次方程不可能。最後是
伽羅瓦首創群論方法，確定了n次方程可用根式解的充要條件是其根的置換群為可解群。他在徹底了結這個延續了數千年的代數問題的同時，打開了抽象代數學的發展大門。抽象代數學研究群、環、域、模、理想、格等代數結構，它在1930年代由諾特（E. Noether）與阿廷（E. Artin）等人正式確立，成為20世紀代數學的主流。
1637年，費馬提出了“除平方之外，任何次冪都不可能拆成兩個同次冪”的所謂費馬大定理。為證明這個定理，庫默爾（E. E. Kummer）把整數分解的方法推廣到了分圓域，並創立了理想論。他不僅發現了“理想”這個新代數結構，而且開創了代數數論的研究。
“代數”這個詞現在不僅代表了一種數學學科，還專指一種帶有加法和乘法運算的抽象代數結構。“交換代數”則是研究代數幾何的基礎。
分析學的發展
17世紀牛頓和萊布尼茨發明的微積分，被認為“是繼歐幾里得幾何之後，全部數學中最大創造”[2]；然而它實際上是古代數學中無限分割思想在笛卡兒座標體系下的自然發展。從此無窮的概念正式進入數學並大顯身手：無窮小分析成為幾乎無處不在的數學語言，無窮級數也被廣泛使用。分析學則成為與幾何和代數同樣重要的數學分支。
函數是分析學的中心概念，在牛頓時代人們只研究光滑的連續函數，但不久就發現了種種不連續、不可微的怪異函數，如何處理這些函數曾使分析學家們傷透腦筋。
康托爾創立了集合論，為分析乃至整個數學奠定了邏輯基礎；因出現了悖論，人們曾對集合論是否可靠感到擔心。羅素、希爾伯特、布勞威爾等試圖為數學建立更牢靠的基礎，但均未成功。如今數學家們肆無忌憚地使用集合論的成果，全然不顧它是否會導致錯誤的結論。
黎曼曾建立了有限區間上的積分理論，但它不適用於一大類有意義的函數。於是法國人
勒貝格發明了測度論，創立了關於可測函數的勒貝格積分，由此誕生了實變函數論。所謂複變函數論實際指單復變量的函數論，它曾經是19世紀分析學的中心內容：高斯利用它證明了代數基本定理；阿貝爾在這裡創造了橢圓函數和橢圓積分；黎曼通過研究多值函數發現了黎曼面，這個結構對於幾何學和代數學也都有重要意義。在20世紀，共形映射與值分佈理論成為重要的研究課題。多複變函數論則被稱為複分析，它形成於20世紀初，現在發展十分迅速。
泛函分析也可稱為“函數的”函數理論，因為它研究的是作用在函數上的變換或算子。它起源於對變分法和積分方程等的研究。弗雷歇（M. Frechet）於1906年創立了抽象空間（函數是其中的“點”）理論，從而奠定了泛函分析的基礎。重要的抽象空間包括巴拿赫空間和希爾伯特空間。泛函分析不僅在數學而且在物理學等學科中有廣泛應用，是現代分析學的基本內容。
數學與人類文明同步發展
《古今數學思想》中很少涉及20世紀數學，因為克萊因認為這段時期的許多數學成果尚有待於經受時間的檢驗，而且他對現代數學的過度抽象化也持有保留態度。事實上，無論就純粹數學還是就應用數學來說，20世紀的發展都遠遠超過以往的世紀；五千年的數學歷史短缺了最精彩最豐富的最後100年，無論如何是一大遺憾。所幸最近出版的《20世紀數學經緯》，全面介紹了20世紀的數學人物、事件和成就，從而可以填補這段空白[8]。
《20世紀數學經緯》，張奠宙 著，華東師範大學出版社，2002年出版。
縱觀五千年數學，波瀾壯闊，精彩繽紛，令人驚歎。浮光掠影一瞥，當然只能略及皮毛，粗知大概。不過我們還是可以看出，數學的發展與人類文明的進步狀況密切相關。
在原始社會，人類只會記數和識別簡單的幾何圖形。這種本領部分出自動物本能的一種發展，部分出自原始部落內部成員間口頭學習和交流。
進入農業社會，人類建立國家，開始了大規模的社會合作、社會分工和社會生產。由於社會需要，很自然地產生了以幾何學為主要內容的古典數學。文字著作成為傳播數學知識的重要手段，交流的範圍也擴大到了一個國家或屬於同一文明的相鄰國家。可以斷定不同文明中數學基本上是獨立發展的；但它們的歷程和內容有許多相似之處，這表明這段時期的社會結構和社會生產很大程度決定了當時的數學。然而不同文明中的數學也有明顯的不同，這可以用自然環境或文化差異來解釋。
15世紀開始的歐洲文藝復興為人類進入工業化的現代社會做準備，數學也開始醞釀思想變革。17世紀以後人類的科學、技術和生產活動越來越廣泛深入，數學也隨之飛速發展。數學交流使用雜誌論文這種更迅速方便的手段；隨著數學交流跨越了國界，數學研究也成為國際化的活動。由於人類的這場社會革命首先從西方開始，所以與它同時產生的現代數學也很自然地帶上明顯的西方古典數學思想的烙印。
計算機與網絡把人類帶進了21世紀，我們正在經歷信息時代的革命。通信與交流從來沒有這樣的便利和迅速，數學家交流思想和研究成果從來沒有這樣容易；科學技術與生產的發展達到前所未有的頂峰。面對如此形勢，我們有理由相信，很可能在這一世紀裡會發生另一場數學思想的革命；與以往不同的是，這次革命將會有全世界的數學家共同參與。
讓我們拭目以待，數學這棵古老的常青樹將在21世紀中長出怎樣的新幹和新芽。
參考文獻
[1] Rota G-C. Book Review: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Bull of AMS, 1974, 80:5
[2] Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford Univ Press, 1972；中譯本：古今數學思想，4卷. 上海：上海科學技術出版社，2002
[3] Alexanderson GL. Interview of Morris Kline. In: Mathematical People. Boston: Birkhauser, 1985. 中譯本：Morris Kline 訪問記. 數學譯林，1989（4）
[4] Myths, Lies, and Truths. http://www.math.buffalo.edu/mad/myths_lies.html
[5] 梁宗巨. 世界數學通史. 瀋陽：遼寧教育出版社，1995
[6] 郭書春，劉鈍校點. 算經十書. 瀋陽：遼寧教育出版社，1998
[7] Van der Waerden B L. A history of Algebra. Berlin: Springer-Verlag, 1985
[8] 張奠宙. 20世紀數學經緯. 上海：華東師範大學出版社，2002
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