0.99999…=1
不符常識
初聽到0.99999…=1都會嚇一跳，不符“常識”，解釋之後又感覺數學的魅力所在。
還有那些這樣的例子？
再比如：
給地球和小皮球做一個緊箍的鋼環，同時給鋼環擴大1米，哪個球的平均空隙大？（答案是一樣大）
又如皮筋與螞蟻問題：
一隻螞蟻在理性彈性繩的一端，向另一端以每秒1cm的速度爬行。彈性繩同時以每秒1m的速度均勻地拉長，螞蟻能否爬到終點？
看起來不行吧？沒錯，答案是“能”。
簡單的解釋就是假設彈性繩的速度是每秒0.9cm，那麼直覺上螞蟻就能爬到終點。而彈性繩均勻拉長意味著其上總有一點的速度是每秒0.9cm，也就是說螞蟻可以爬到這個點。接下來把整個彈性繩分段就好了。
另外沒必要說高深的理論，一些簡潔平凡的結論就挺有趣了。看起來難以理解，想一想就恍然大悟。
無窮是個很無賴的概念……什麼構造出一個全體分數集（有理數）對應正整數集的……
級數里面全體自然數之和為-1/12
微積分當中最妙又最簡潔的當屬“擺線長度等於圓直徑四倍”，這條與圓息息相關，怎麼看怎麼“無理”的一條線，長度不僅和π沒有關係，還是個漂亮的整數倍！：
當時知道“半球體積等於等底等高的圓柱切去一個圓錐的體積”的直觀解釋的時候真的是拍案稱奇。
不知道算不算幾何學，但是萊洛三角形是挺神奇的。平穩地搬運東西不一定要用圓木。
而且，不說複雜的，三角形的四心（重心、垂心、內心、外心）也很神奇啊，三種重要的線都匯聚到某個點上。
迷宮的萬能解法也挺流氓的……不過這個算圖論或者拓撲學了……說到圖論，四色猜想也很經典，然而這個不是“想一想就恍然大悟”的部分了……
對了，拓撲學裡還有個“同胚”的神奇概念，例如下面這兩個就是拓撲等價的：
類似的，我們還可以得到“8字環和圓環同胚”的結論。在實際生活中也有應用：不打開繩結、不割斷繩子，是可以把下圖的兩個人解開的。
代數算是比較按部就班的領域了……五次方程沒有公式解是個挺令人沮喪的事實……
另外尺規作圖無法三等分角也是挺令人沮喪的，更有趣的是這個幾何問題要用比較深的代數方法解決。
不過有很多經典的問題可以歸入代數：
上下山問題：上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。
芝諾悖論：
阿基里斯的速度是烏龜的百倍，烏龜在阿基里斯前一百米。當阿基里斯跑到烏龜現在的位置時，烏龜多跑出去了一米；阿基里斯追上這一米時，烏龜又多跑了一釐米；以此類推，阿基里斯永遠追不上烏龜。（0.999…=1與芝諾悖論是異曲同工）
數論裡有個很妙的結論，N之前素數的分佈頻率與ln(N)/N幾乎相合，更準確的版本是：
對了，調和級數是發散的！
另外……既然提到了0.999...我覺得有很多日經問題都可以說呀：
三門問題：
三扇門背後只有一扇門有獎金，另外兩扇是空門。參與者選擇一扇門後，主持人打開餘下兩扇門中一扇空門。這時參與者換門獲獎率是2/3，不換門的獲獎率是1/3。
（說實話我到現在還是不明白為什麼有人會覺得兩扇門獲獎率一樣……）
男女孩問題：
一家人有兩個孩子，其中有一個女孩。另一個孩子是男孩的概率是2/3。
“魔術師地毯”類問題：
生日悖論：
23人中有兩人生日相同的概率大於50%，50人時就可以升高到97%。
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