本文主要內容:已知直線3x+4y+2=0與圓x^2+y^2+4y=0交於A,B兩點,求線段AB的垂直平分線的方程式,本題介紹三種方法來求。
方法一:
【解題思路】:根據題目情況,圓心o在所求的垂直平分線上,AB垂直平分線的斜率與已知直線3x+4y+2=0垂直,斜率乘積等於-1,即可求出所求直線的斜率k',據此根據點斜式即可求出直線方程。
已知3x+4y+2=0,即斜率k=-3/4.所以所求的垂直平分線的斜率k'=-1/k=-1/(-3/4)=4/3.
對於圓方程有:
x^2+y^2+4y=0;
x^2+y^2+4y+4=4;
x^2+(y+2)^2=4;
即圓心座標為O(0,-2),故所求的直線方程為:
y-(-2)=(4/3)(x-0);
y+2=4x/3;
3y+6=4x;
即:4x-3y-6=0.
方法二:
【解題思路】:利用點與直線、圓的關係求出A,B的中點,再利用直線的點斜式求解垂直平分線方程。
設A(x1,y1),B(x2,y2),則有:
因為A,B兩點在直線3x+4y+2=0上,所以AB的斜率=-3/4,即:
-3/4=(y2-y1)/(x2-x1).
y2-y1=-(3/4)(x2-x1)………(1)
又因為A,B都在圓上,則有:
X1^2+y1^2+4y1=0
X2^2+y2^2+4y2=0
相減得到:
(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(y1-y2)=0…(2)
(x2-x1)(x1+x2)+(y2-y1)(y1+y2+4)=0
把(1)代入(2)得到:
(x1+x2)-(3/4)(y1+y2+4)=0
4(x1+x2)-3(y1+y2+4)=0……(3)
同理,兩點均在直線上,則有:
3x1+4y1+2=0
3x2+4y2+2=0
所以:
3(x1+x2)+4(y1+y2)+4=0……(4)
解方程組(3)、(4)得到:
X1+x2=36/25,y1+y2=-52/25
即AB的中點座標((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)為:
(18/25,-26/25).
根據垂直直線斜率乘積等於-1的關係,所求的垂直平分線的斜率=4/3。
所以所求的垂直平分線的方程為:
y-(-26/25)=(4/3)(x-18/25)
化簡得到:
4x-3y-6=0。
方法三:
【解題思路】:直接求出A,B兩點的座標,再利用點斜公式求得垂直平分線方程。
直線方程為:3x+4y+2=0,即x=-(4y+2)/3,
代入圓的方程得到:
(4y+2)^2/9+y^2+4y=0
化簡得到:
25y^2+52y+4=0
(25y+2)(y+2)=0,所以:
Y1=-2/25,y2=-2,對應得到:
X1=-14/25,x2=2
則有A(-14/25,-2/25),B(2,-2).
所以AB的中點座標為(18/25, -26/25).
根據垂直直線斜率乘積等於-1的關係,所求的垂直平分線的斜率=4/3。
所以所求的垂直平分線的方程為:
y-(-26/25)=(4/3)(x-18/25)
化簡得到:
4x-3y-6=0.
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