二次函數中動點問題是學生普遍感覺難以理解的一類問題，通常在各類考試中以壓軸題形式出現，容易給某些學生造成殺傷的崩盤可能，如何根據題目提供的信息，依據動點的變化特徵，抓住解決問題的關鍵，從而化難為易，巧妙解決。下面將結合二次函數中最常見的一類與動點相關的最值問題的解題思路，剖析問題的關鍵，希望引起學生們的思考。
經典考題
1．（2019秋•惠州期末）如圖，拋物線y＝x²+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，求點D的座標；
（3）點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的座標；
【解析】（1）先求出點A，C的座標，再將其代入y＝x²+bx+c可得拋物線的解析式為：y＝x²﹣x﹣6；
（2）在y＝x²﹣x﹣6中，對稱軸為直線x＝1/2，
∵點A與點B關於對稱軸x＝1/2對稱，
∴如圖1，可設BC交對稱軸於點D，由兩點之間線段最短可知，此時AD+CD有最小值，
而AC的長度是定值，故此時△ACD的周長取最小值，
在y＝x²﹣x﹣6中，當y＝0時，x₁＝﹣2，x₂＝3，
∴點B的座標為（3，0），
設直線BC的解析式為y＝kx﹣6，將點B（3，0）代入，得，k＝2，
∴直線BC的解析式為y＝2x﹣6，當x＝1/2時，y＝﹣5，
∴點D的座標為（1/2，﹣5）；
（3）如圖2，連接OE，
2．（2019秋•孝義市期末）綜合與探究
如圖，在平面直角座標系中，直線y＝x﹣4分別與x軸，y軸交於點A和點C，拋物線y＝ax²﹣3x+c經過A，C兩點，並且與x軸交於另一點B．點D為第四象限拋物線上一動點（不與點A，C重合），過點D作DF⊥x軸，垂足為F，交直線AC於點E，連接BE．設點D的橫座標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當∠ECD＝∠EDC時，求出此時m的值；
（3）點D在運動的過程中，△EBF的周長是否存在最小值？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由直線y＝x﹣4分別與x軸、y軸交於點A和點C都在拋物線上，則先求出A，C座標，皆可滿足y＝ax²﹣3x+c．由y＝ax2﹣3x+c中只有兩個未知數，所以代入兩點即可求係數a、c，則解析式拋物線的解析式是y＝x2﹣3x﹣4；
（2）作輔助線，構建等腰直角三角形，證明△EHC是等腰直角三角形，根據解析式表示D和E的座標，根據EC＝ED列方程可解答，解得m＝0（捨去）或m=4-√2；
（3）存在．∴點D為第四象限拋物線上一動點（不與點A，C重合），∴0＜m＜4，
在拋物線y＝x²﹣3x﹣4中，當y＝0時，x²﹣3x﹣4＝0，
解得x₁＝﹣1，x₂＝4，∴點B座標為（﹣1，0）．
∵∠FAE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．
設△BFE的周長為n，
則n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，
∵AB的值不變，∴當BE最小，即BE⊥AC時，△BFE的周長最小．
∵當BE⊥AC時，∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．
∴m＝4﹣2.5＝1.5時，△BEF的周長最小．
3.（2019秋•灌雲縣期末）在平面直角座標系中，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫座標為m，△AMB的面積為S，求S關於m的函數關係式，並求出S的最大值．
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的座標．
【解析】（1）將A，B，C三點代入y＝ax²+bx+c即可求解析式為：y＝x²+x﹣2；
（2）如圖1，過點M作y軸的平行線交AB於點D，M點的橫座標為m，且點M在第三象限的拋物線上，設M點的座標為（m，m²+m﹣2），﹣2＜m＜0，求出直線AB的解析式，則點D的座標為（m，﹣m﹣2），即可求出MD的長度，進一步求出△MAB的面積S關於m的函數關係式，由函數的思想即可求出其最大值，
S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝1/2MD•OA＝1/2×2（m²﹣2m）＝﹣m²﹣2m＝﹣（m+1）²+1，
∵﹣2＜m＜0，∴當m＝﹣1時，S△MAB有最大值1，
綜上所述，S關於m的函數關係式是S＝﹣m²﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值為1；
（3）設P（x，x²+x﹣2），分情況討論，①當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ＝OB，則Q（x，﹣x），可列出關於x的方程，即可求出點Q的座標；②當BO為對角線時，OQ∥BP，A與P應該重合，OP＝2，四邊形PBQO為平行四邊形，則BQ＝OP＝2，Q橫座標為2，即可寫出點Q的座標．
綜上所述，點Q的座標為（﹣2，2）或（﹣1+√5，1﹣√5）或（﹣1﹣√5，1+√5）或（2，﹣2）．
反思總結
解答此類題目時，需注意：
第一，需要認真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，翻譯並轉化為顯性條件；
第二，要善於將複雜問題分解為基本問題，逐個擊破；
第三，要善於聯想和轉化，將以上得到的顯性條件進行恰當的分組，進一步得到新的結論尤其要注意的是，靈活充分地運用幾何圖形的相關性質往往獲得事半功倍的效果，恰當地使用分析綜合法及方程與函數的思想、轉化思想、數形結合思想、分類討論思想等數學思想方法，能更有效地解決問題。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
