04.17 兩個幾何世界的鏡像連接

27年前，物理學家在試圖弄清楚弦理論

的一些細節的過程中，觀察到了一種奇異的對應關係：從一種幾何世界出現的數字與來自截然不同的幾何世界中的極為不同的數字完全匹配。

對於物理學家而言，這種對應是相當有趣的。但對數學家來說，這簡直荒謬。幾十年來，數學家一直在獨立研究這兩個幾何世界。這兩者之間存在著密切的相關性似乎是非常不可能的，這好比是在說當一個宇航員在月球上跳躍時，某些隱藏鏈接會導致他的妹妹也在地球上跳躍。

David Morrison 是最早研究這些匹配數字的數學家之一，他說：“乍看之下這簡直完全不可思議。”

近三十年後，懷疑早已讓位於啟示。這個首先由物理學家觀察到的幾何關係，是當代數學中最活躍的領域之一。該領域被稱為鏡像對稱，指的是兩個看起來很遙遠的數學宇宙似乎以某種方式準確地反映彼此。自第一次觀察到這種對應後——即一邊的一組數字與另一邊的一組數字完全相匹配——數學家發現了更多複雜的鏡像關係的實例：宇航員和他的妹妹不僅一起跳躍，他們還會同時揮手和做夢。

最近，鏡像對稱的研究出現了新的變化。經過多年對更多同樣潛在例子的發現，數學家們正在接近能解釋為何會發生這種現象的真相。加州大學伯克利分校的數學家 Denis Auroux 說：“我們已經發現了陸地，並有望著陸。”

好幾個數學家團隊都在努力尋找對鏡像對稱的基本解釋，並且離這一領域的中心猜測已越來越近。他們的工作就像是揭開一種幾何形式的DNA，一種解釋了兩個截然不同的幾何世界是如何可能表達相同特徵的共享代碼。

發現鏡像

最終成為鏡像對稱領域的，是物理學家一開始尋找的額外維度。早在20世紀60年代末期，物理學家就試圖用微小的振動弦來解釋電子、光子、夸克等基本粒子的存在。到了20世紀80年代，物理學家明白了若要使“弦理論”奏效，那麼弦必須存在於10維中——比我們可以觀察到的4維時空多出了六個。他們提出，在這六個看不見的維度裡發生的事情，決定了我們物理世界的可觀測特性。

劍橋大學數學家 Mark Gross 說：“我們或許有這樣一個無法直接看到或測量的微小空間，但是這個空間的某些幾何形狀可能會影響現實世界裡的物理學。”

最終，他們提出了六個維度的潛在描述。在介紹它們之前，我們可以先思考一下空間具有幾何形狀意味著什麼。

設想一下一個蜂巢和一棟摩天大樓，它們都是三維結構，但卻有著非常不同的幾何形狀：它們的佈局不同、外部曲率不同、內角也是不同的。同樣，弦理論學家提出了完全不同的方式來想象缺失的六個維度。

一種方法出現在數學領域裡的代數幾何中：數學家通過畫圖來研究多項式方程，例如根據方程 x² + y² = 1 可畫出一個圓。更復雜的方程可以形成更精細的幾何空間。數學家探索了這些空間的性質，以便更好地理解原始方程。因為數學家經常使用複數，所以這些空間通常被稱為複流形。

另一種類型的幾何空間最初是通過思考真實的物理系統才得以構造的，比如行星的軌道。這種幾何空間中的每個點的座標值可以代表行星的位置和動量。如果把一個行星的所有可能位置與所有可能動量結合在一起，就能得到這個星球的“相位空間”——這是一個幾何空間，在這個空間裡的點為行星運動提供了完整的描述。這個空間有一個“

辛（symplectic）”結構，能對支配行星運動的物理定律進行編碼。

辛幾何和復幾何之間的不同就好比是蜂蠟與鋼鐵。它們製造的空間非常不同。復空間具有非常僵硬且精確的結構——想象一個圓，哪怕你只是稍稍地扭動它，它便不再是一個圓。它會變成一個完全不同的形狀，不能用一個簡單的多項式方程來描述。辛幾何則更加靈活：一個圓和一個有點“缺陷”的圓對它來說幾乎是一樣的。

劍橋大學的研究員 Nick Sheridan 說：“代數幾何是一個更加僵硬的世界，而辛幾何則更靈活。兩個如此不同的世界卻在深層次上有著等同性，這就是令我們倍感意外的原因之一。”

在上個世紀80年代後期，弦理論學家提出了兩種方法來描述缺失的六個維度：一個來源自於辛幾何，另一個來自復幾何。他們發現這兩者之中的任一種空間都與他們試圖解釋的四維世界一致。這被稱為對偶（duality）：任何一個都可運作，並且我們無法用什麼測試來將兩者區分。

隨後物理學家開始探索對偶可擴展的程度。當他們這樣做時，卻發現了這兩種空間之間的聯繫，引起了數學家的注意。

1991年，Philip Candelas、Xenia de la Ossa、Paul Green 還有 Linda Parkes 四位物理學家組成了一個研究團隊，對復空間、以及為了用來預測辛空間中的對應數而生成的數值進行計算。預測必須與可以在六維辛空間中繪製的不同類型的曲線的數量相關。數學家早就一直在努力試圖計算這些曲線，他們怎樣也想不到這些曲線的數量能與物理學家為了進行預測而使用的復空間計算能有任何關係。

起初結果非常牽強，數學家不知道該如何做。但是幾個月後（1991年5月），在一個聚集了物理學家和數學家的匆忙召開的會議上，這種聯繫變得無可辯駁。Sheridan 說：“最終，數學家們致力於驗證物理學家的預測，並意識到這兩個世界之間的對應關係是數百年來未曾被數學家注意過鏡像兩側的真實事物。”

鏡像對偶的發現意味著，在短期內，研究這兩種幾何空間的數學家可以擁有兩倍數量的工具：現在他們可以使用代數幾何的技術來回答辛幾何的問題，反之亦然。

最大的難題

與此同時，數學家和物理學家開始為鏡像現象尋找一個共同的成因或潛在的幾何解釋。就像我們現在可以通過共有的遺傳代碼元素來解釋不同生物之間的相似性一樣，數學家試圖通過將辛流形和複流形分解成一些共同的基本元素——環形纖維（torus fiber）——來解釋鏡像對稱。

環形是一個在中間有孔的形狀。一個普通的圓是一個一維環形，一個甜甜圈的表面是一個二維環形。一個環形可以具有任意數量的維度。只要以正確的方式將大量低維的環形粘合在一起，就能構建出更高維度的形狀。

舉個簡單的例子，試想一下地球的表面。它是一個二維球面。但我們也可以把它看作是由許多一維圓圈（就像許多條緯線）粘在一起的。將所有的圓粘在一起是球的“環形纖維化”——由單個纖維一起編織成的更大整體。

○ 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

環形纖維化的用處表現在幾個方面。一是他們為數學家思考複雜的空間提供了一個簡單的方法。就像可以構造一個二維球體的環形纖維一樣，我們也可以構造出鏡像對稱的六維辛空間和復空間的環形纖維。這時空間的纖維不再是圓，而是三維環形。儘管我們不可能將六維辛流形可視化，但三維環形卻幾乎是觸手可及的。Sheridan 說：“這已經是莫大的幫助。”

環形纖維化還有其他用處：它將一個鏡像空間分解為一組可用於構建另一個空間的基礎材料。換句話說，你不一定需要通過觀察鴨子來了解狗，但是如果你將每隻動物分解成原始的遺傳密碼，就可以從中尋找出相似之處，比如兩種生物都有眼睛，這似乎就不足為奇了。

那麼，如何將辛空間轉換為復空間的鏡像呢？一個簡單的圖景是，首先在辛空間上進行環形纖維化，這樣就能得到很多環形。每一個環形都有一個半徑。接下來，取每個環形半徑的倒數（也就是說在辛空間中半徑為4的環形，變成了鏡像的復空間中半徑為1/4的環形）。然後利用這些具有互為倒數的半徑的新環形來構建新的空間。

1996年，Andrew Strominger、 Shing-Tung Yau（丘成桐）和 Eric Zaslow 提出了這種將任何辛空間轉換成其鏡像復空間的一般方法。以他們三位姓氏的首寫字母命名的SYZ猜想說的就是，我們始終可以用一個環形纖維空間從鏡的一側移動（對應）到另一側。它與 Maxim Kontsevich 在1994年提出的同調鏡像對稱猜想一起，試圖對鏡像對稱現象進行解釋。證明這兩個猜想也成為了鏡像對稱領域中的基本問題。

SYZ猜想很難證明，因為在實踐操作中，創建環形纖維然後取半徑的倒數的過程並不容易實現。為了搞清楚為什麼，我們回到地球表面的例子：在一開始，用圓來分解它似乎很容易做到，但在兩極，圓的半徑就為零了。而零的倒數是無窮大。 因此如果半徑為零，就遇到大麻煩了。

當嘗試創建一個六維辛空間的環形纖維時，這一難點就會以更明顯的方式出現。因為在六維辛空間，可能會有無窮多環形纖維的部分纖維被壓縮成半徑為零的點。數學家仍在試圖弄清楚如何使用這種纖維。賓夕法尼亞大學的數學家 Tony Pantev 表示：“合理解釋這樣的環形纖維空間是一個巨大的難題。”

換句話說，SYZ猜想認為環形纖維化是辛空間和復空間之間的關鍵環節，但在很多情況下，數學家並不知道如何執行猜想中所描述的平移過程。

隱藏已久的連接

在過去的27年中，數學家發現了數億個鏡像對——某個辛流形與另一個複流形處於鏡像關係——的例子。但在瞭解現象發生的原因時，數量並不那麼重要。Gross 說：“我們有大量的例子，可能有4億多個。所以說我們並不缺乏實例，但是仍有一些具體例子看起來並沒有為整個故事為什麼會這樣運作起到啟示作用。”

數學家希望找到一個通用的構造方法——一個通過給定任何辛流形，就能得到它的鏡像的標準過程。現在數學家相信他們正在接近實現這樣一個過程。 Auroux說：“我們正在逐漸理解這種現象，試圖儘可能多地證明它具有的一般性。”

數學家正在沿著幾個相互關聯的方向前進。經過幾十年對鏡像對稱領域的研究，他們已非常接近理解該領域奏效的主要原因。法國高等科學研究所（IHES）的數學家 Kontsevich 是該領域的領導者，他說：“我認為這一目標能在合理的時間內完成，它很快就將得到證實了。”

一個活躍的研究領域創造了一個圍繞SYZ猜想的最終結果。它試圖將幾何信息在沒有完整的環形纖維化的情況下，從辛空間轉移到復空間。2016年，Gross和漢堡大學的 Bernd Siebert 一同發佈了一個為達到這一目的的通用方法。他們現在正在完成一個表明該方法適用於所有鏡像空間的證明。Gross 說：“現在完整的證明已經全部寫下來了，但仍需要梳理。”他和 Siebert 希望能在今年年底之前完成。

另一個主要的研究線試圖證明，假設你有一個為你提供鏡像空間的環形纖維，那麼鏡像對稱的所有最重要的關係就會從那裡消失。該研究計劃被稱為“Floer理論”，並正由哥倫比亞大學的數學家 Mohammed Abouzaid 發展。2017年3月，Abouzaid 發表了一篇論文，證明這種邏輯鏈適用於某些類型的鏡像對，但還不是全部。

最後，還有一些研究回到了這個領域開始的地方。Sheridan、Sheel Ganatra 和 Timothy Perutz 三位數學家正在基於 Kontsevich 於20世紀90年代提出的開創性想法——同調鏡像對稱猜想——上繼續前行。

累積起來，這三項舉措將有可能為鏡像現象畫上完滿的句點。Auroux 說：“我想我們已經到了所有重要的‘為什麼’問題都接近被理解的程度。”

譯：佐佑

校對：Jin Zhi

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