大家都聽說過物理中有大一統的構想，那麼數學中有沒有類似的理論呢？答案是肯定的，這就是我們今天所介紹的
朗蘭茲綱領。
現代數學中有三個非常重要的分支學科，分別是代數幾何、數論和群表示論，從各自的發展歷史來看，它們的相互依賴性不是很強，也就是說，這三個學科相對獨立。但數學的發展總是走向綜合和融匯，於是在1967年，當時還非常年輕加拿大數學家朗蘭茲產生了三個學科可以統一在一起的大膽猜想。經過一番思考後，他寫信給當時最偉大數學家之一的韋伊，闡述了自己這個有些瘋狂的構想。但這正如脫韁野馬一樣，一發便不可收拾，這一系列構想後來就組成了著名的“朗蘭茲綱領”，它促成了數學中一系列的重大成就，數學家也因此可以用更加深刻的觀點來審視過去那些已經取得的成果，包括非常著名的“費馬大定理”。
朗蘭茲
朗蘭茲的靈感最早來自於數論中著名的“二次互反律”，“二次互反律”最早由歐拉和勒讓德提出，而後偉大的高斯給出了第一個嚴格的證明。在經典數論裡，二次互反律擁有絕對牢固的地位，被稱為“數論酵母”，它從實質上上解決了二次剩餘的判別問題，但這個定律只適用於二次的情形。朗蘭茲的高明之處在於，他發現了高於二次的方程和互反律也存在著一些聯繫，進而多項式方程的素數值與分析和幾何學中所關注的微分方程的譜奇妙地聯繫到了一起，朗蘭茲在仔細地思考後，認為這兩者之間應該存在互反關係。
朗蘭茲綱領如此受重視的一個原因在於，它將代數幾何包含在內，而代數幾何則是現代數學中“主流中的主流”，數學最高獎菲爾茲獎所有得主中近三分之一是因為代數幾何中的成就而獲獎，由此可以看出代數幾何到底是有多重要！在整個二十世紀的數學中，誕生了許多重量級數學大師，而其中許多都和代數幾何有深刻的關聯，例如格羅滕迪克、韋伊，塞爾和德利涅等等。
格羅滕迪克所著《代數幾何學原理》
而群表示論可能大家會有些陌生。群是滿足一定關係和帶有一些規定運算的集合，例如全體實數在加法運算下就構成一個加法群，所有模長為1的複數(可以理解為單位圓周上的點)在乘法下構成乘法群。但群的結構本身可以變得極其複雜，於是根據數學中“化繁為簡”的基本思想，我們將一般的群對應到更為簡單的“線性群”中，進而可以通過研究這種對應來分析群的結構，這極大地降低了直接研究的難度。而在這些群中，數學家們尤其關注“李群”，李群不僅擁有群結構，更一般地，它還被賦予微分結構，成為一個微分流形，進而李群表示論還與調和分析產生了深刻的聯繫。這樣一來，代數，幾何和分析這三大數學分支就奇妙地產生了關聯。
那麼，這三大分支之間是怎樣被聯繫起來的呢？朗蘭茲認為是一些特殊的函數將它們緊密聯繫在了一起，這種函數被稱為“L函數”，L函數的一些特性往往可以反應出研究對象的幾何，代數或分析性質。例如非常著名的“黎曼ζ函數”就是一個L函數，它的零點分佈情況可以給出許多重要的性質，因此關於它零點分佈的“黎曼猜想”就顯得非常重要，這個猜想可以說是現代數學最重要的一個未解之謎，由它的正確性可以立即推導出很多重要結論，例如素數定理，儘管素數定理已經得證，但這個過程是十分艱辛的。
也就是說，如果黎曼猜想可以被證明，那麼朗蘭茲綱領的地位無疑將“更上一層樓”。在“千禧年七大數學問題”中，除去黎曼猜想外，還有BSD猜想與朗蘭茲綱領關係密切，這個猜想的一部分是：
給定一個整體域上的阿貝爾簇，那麼它的莫代爾群的秩等於它的L函數在1處的零點階數。
BSD猜想近些年來有一些突破，例如來自中科院數學所的數學家田野證明了其中一種特殊情況，使得這個問題有了實質性的進展。
費馬大定理我們聽得比較多的一個數學問題，這是一個歷史超過三百年的巨大難題，不過比較幸運的是，它在上世紀末被英國數學家懷爾斯所解決。實際上懷爾斯是通過證明更為一般的谷山—志村猜想進而得到費馬大定理的，這個猜想架起了溝通橢圓曲線和模形式的橋樑，而橢圓曲線是具有眾多代數和幾何性質的數學對象，而模形式則來源於分析中的週期函數。如此看來，費馬大定理又是朗蘭茲綱領成立的一大強有力佐證，因為它真正地把不同的數學內容聯繫到了一起，完美體現了朗蘭茲綱領的思想。
懷爾斯與費馬大定理
朗蘭茲本人在非交換調和分析、自守形式理論和數論的跨學科領域內進行了深入研究，進而把它們統一在一起的“朗蘭茲綱領”，並首先證明了一些特殊情形。由於朗蘭茲在此領域內的卓越貢獻，他榮獲了“數學三大獎”的其中兩個，分別是1996年的沃爾夫數學獎和2018年的阿貝爾獎。
2018 年阿貝爾獎授予朗蘭茲
而近些年來在朗蘭茲綱領上最傑出的人物可能是越南裔法國籍數學家吳寶珠，他前前後後大約耗費10年光陰，歷經千難萬險，最終證明了朗蘭茲綱領自守形式的一個基本引理，而這個引理是朗蘭茲綱領最終成立的一個基本前提，因而尤其重要。但即使是這樣一個引理，證明起來也非常艱難，就連朗蘭茲本人也無能為力，只能放棄。但所幸吳寶珠堅持了下來，邁出了關鍵性的一大步，憑藉這樣的巨大突破，吳寶珠也榮獲2010年菲爾茲獎。值得一提的是，吳寶珠還在越南讀高中的時候就兩度拿到國際中學生數學奧林匹克競賽的金牌，而與他同屆獲得金牌的還有更加出名的
陶哲軒，陶哲軒於2006年獲得菲爾茲獎。不過非常可惜的是，在中國眾多的金牌得主中至今還從未誕生過具備獲得菲爾茲獎實力的數學家。
吳寶珠
朗蘭茲綱領已經成為數學中一塊極其肥沃的土地，代數、幾何和分析的思想和方法在其中產生了神奇的反應，讓我們驚喜地看到了它們之間的共性和聯繫。但時至今日，朗蘭茲綱領也只是一個偉大的“構想”而已，但它已經為今後的數學發展指明瞭一種方向，或許沿著這個方向，我們將窺探到數學中更為高深的奧秘。
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