吳建永美國喬治城大學醫學院神經科學系
兩年前，當我聽到2011年諾貝爾化學獎（以色列科學家丹尼爾• 舍特曼, 發現了除晶體、非晶體外的第三種固體材料---準晶體）的消息，晚上浮想聯翩，竟至失眠。腦子裡湧現出一大串看似關聯，又非關聯的故事：準晶體、王浩瓷磚、彭羅斯地板、圖靈機、哥德爾定理、意識的硬難題……次日是週五，教課開會雖然很累，但還是迫不及待地連夜寫出。今天翻出草稿，整理一下細細講來與大家分享。
為什麼一個準晶體問題能有那麼多關聯呢？因為科學像棵大樹，上面開枝散葉，而下面的根基都是互相連結的。像準晶體這樣的只有少數人懂的實際問題通過純數學理論與其他科學相連，甚至走到了科學與哲學交界的邊緣。作為科普文章，本文的目的只是把問題的脈絡理清，讓外行的人對這些枯燥的學科產生興趣。
丹尼爾• 舍特曼獨得2011年諾貝爾化學獎的事讓很多人奇怪。現代科學越來越依靠團隊作戰，一個人獨領風騷的發現很少了。一般得諾獎的項目常常是幾個大團隊競爭，甚至同時在頂級雜誌上發表。相比之下舍特曼是個單幹戶，他在電鏡下發現準晶體的時候很多人不信，原始文章艱難奮鬥了兩年才得以發表。從這種情況看他獨得諾獎不僅是完全應該的，而且也說明即使在今天的大科學環境下，天才的想法往往來自個人腦中的靈光一閃，跳出藩籬。財大氣粗的團隊作戰雖然能提高產生天才想法的幾率，但慘淡經營的小實驗室也有千思一得的機會。
在講準晶體前，咱們先講一下晶體是什麼。廣義來講，晶體就是空間中有周期重複的對稱性排列。比如瓷磚鋪的地板，當你定下一塊瓷磚的位置，平移幾寸是另一塊瓷磚的位置，再平移幾寸又是一塊瓷磚。同理上移或下移同樣的尺度也是一塊瓷磚。這就是廣義的晶體，具有“週期重複的對稱排列”的性質。週期重複的對稱排列是個很強的限制，在二維空間裡，用一種瓷磚一共只有17種週期對稱排列方式。這些方式也叫糊牆紙群（圖 1）。
圖1 17種糊牆紙群。都是週期排列而且在空間上平移或旋轉對稱
糊牆紙群原本是伊斯蘭寺院裡千百年來鋪瓷磚地板（馬賽克）的實踐中總結出來的，後來由數學家從理論上進行了總結。首先是沙俄時代的一位科學家依果• 菲得洛夫從數學上證明了在二維空間17 種週期重複的對稱排列，並在1879 年推廣到三維空間，證明點群的空間週期對稱排列只有230種（菲得洛夫空間群）。可惜這個天才科學家在1919年蘇聯剿匪時期被餓死了（另有一種說法他死於肺炎）。
1924年，匈牙利數學家喬治• 波利亞（1887～1985）在不知道菲得洛夫工作的情況下再次總結出這個規律。相比菲得洛夫，波利亞幸運多了，也更有名氣。二戰期間他居住在瑞士，戰後移居美國，在斯坦福大學成為終生教授。波利亞晚年最著名的工作當屬“怎樣求解一切問題”。他的著作《怎樣求解》至今仍是數學教學的經典。現今世界上有三個獎項以波利亞命名，獎勵數學界最好的文章、最有意思的應用和最富創造性的工作。
扯遠了，再回來談準晶體。自1912年晶體結構學建立以來，在對世間所有晶體的結構觀察中，週期重複的對稱排列規律的概念是根深蒂固的。因此，當舍特曼在電鏡下觀察到快速冷卻後的鋁錳合金表面那些整齊排列卻無空間對稱的結構時，連他自己也不相信，在紀錄本邊上連畫幾個問號。所謂準晶體，就是週期排列而沒有空間重複對稱的花樣，圖2 比較了晶體和準晶體。
圖2 （a）一種屬於糊牆紙 p4m 的二維“晶體”，具有周期重複的對稱排列性質
▼（b） 一種二維準晶體，週期排列卻沒有空間對稱
舍特曼發現的意義是，雖然晶體結構理論是牢不可破的，但該理論卻沒限制準晶體的存在，從此意義來講準晶體的發現是一種典型的跳出藩籬式思維的結果。
談起準晶體的跳出藩籬，我還要提一下中國數學家王浩的工作。王浩（山東，1921～1995）最出名的跳出藩籬的工作是1959年在牛津大學當講師的時候寫的一個計算機程序，只用9分鐘的時間就證明了羅素和懷海德的經典教科書《數學原理》中羅列的幾百個數理邏輯定理。
王浩的另一項工作是多米諾骨牌問題。在這項工作中他迷在圈中而他的學生卻跳出藩籬, 而由此引出了數學中的兩維準晶體。這就是所謂“王浩瓷磚”。王浩瓷磚是正方形，同樣大小且每邊有顏色的磚。王浩瓷磚問題是說，如果用一套瓷磚，在相鄰的邊界顏色相同的情況下能否一塊一塊地排列在無限大的地板上，條件是瓷磚不許旋轉或鏡像。王浩在1961年提出一套證明，說只要瓷磚的種類有限，就一定可以無限至地週期地排列下去。注意，這裡“週期排列”就是我們所說的廣義晶體結構。
可是幾年后王浩的一個學生羅伯特• 伯格卻提出王浩的證明錯了。伯格在1966 年證明了用一套有限種的王浩瓷磚可以排列成非週期重複的地板，這種非週期重複的花色就像準晶體一樣（圖3）。
圖3 用８種王浩瓷磚（上）拼成的非週期地板花樣
提到非週期重複的準晶體地板，另一個著名的例子是羅傑• 彭羅斯的工作。彭羅斯爵士是英國物理學家，由於對宇宙學的貢獻被英國皇家學會封為爵士。1988年他和霍金因為對宇宙學的貢獻而分享當年的沃爾夫獎（是世界上公認的終生成就獎之一）。彭羅斯雖然主要成就是研究黑洞，但也愛研究“趣味數學”。1971 年他發現了所謂彭羅斯瓷磚，也是非週期重複花樣的準晶體。彭羅斯地板有幾個有趣的特性，比如可以越排越大，即同樣的花樣在不同的空間尺度下重複。還可以同時出現鏡像對稱和旋轉對稱等。
圖4 彭羅斯站在美國德克薩斯A&M大學內的一塊彭羅斯地板上
說了王浩、伯格和彭羅斯，咱們再來捋一捋這個問題的理論發展過程。數學科普要言必稱希爾伯特難題，咱也不能免俗。20世紀初希爾伯特總結了挑戰人類智慧的23個著名的數學問題。其中第18題的第2 部分，就是瓷磚排地板問題。他的原問題已經被德國數學家卡爾雷哈德在1928年解決了，到了1961年，王浩提出了一套算法，證明只要是有限種瓷磚，就可以用計算機自動排布。可是王浩的學生伯格來了個節外生枝，證明瓷磚問題是不可自動解決的。這是因為存在著非週期性排布（即準晶體）。這就把這個領域引申到非週期性排列。伯格的第一個證明用了20426種不同的王浩瓷磚。不久他把瓷磚的種類降低到104種。後來這個數目越來越低，到了1971年降低到６種。彭羅斯在1973～1974年把這個問題發展出一個新的分支，只用兩種瓷磚就可以擺出具有新空間排布規律的彭羅斯地板。
這麼說起來，好像又掉進了數學科普的老套路：從希爾伯特難題開始， 然後是n+1、3+1， 最後是1+1。這些純數學的證明和我們日常的科學有啥關係呢？我雖然覺得聯繫是非常廣泛的，但按照我所受教育的侷限，我只能舉一個例子，就是關於計算機的智慧能不能超過人的問題。把這個問題再向前引申一點，就脫離了科學而進入哲學的範疇，就是問人造的機器是否能有意識。準晶體和人工智能在數學中的聯繫在哪裡呢？還且聽我慢慢道來。
世間的所有邏輯運算，包括加減乘除，推理論斷等都可以拆解成一步一步的簡單邏輯過程，而可以進行這些邏輯操作的最簡單的機器又稱作“圖靈機”。圖靈機是個虛擬的機器，由阿蘭• 圖靈於1936年首先提出。這圖靈絕對是個天才，一個人開創了今天幾門科學的先河。你今天用的iPhone、iPad 等蘋果產品的商標是個咬了一口的蘋果，就是為了紀念圖靈，他為了抗議社會對他性取向的歧視和虐待，於42歲時（1954 年）咬了一口沾有氰化物的蘋果自殺了。
在1936 年還沒有電子計算機，但圖靈已經證明了今天一切數字計算機的邏輯能力都可以拆解成為一個一個圖靈機可以完成的任務。換句話說，就是圖靈機與一切邏輯計算機完全等價。一切計算機能幹的事圖靈機都能幹，一切圖靈機不能幹的計算機也不能幹。再推廣一點，人類進行的一切邏輯推理也可以拆解成圖靈機的運算過程，即人類的推理能力和圖靈機的能力等價。這麼說，圖靈機不是和人的智力水平一樣了嗎？
當然不是的。邏輯水平並不是全部智力。像王浩瓷磚、彭羅斯地板這樣的準晶體就是人能創造出來而圖靈機不能創造的，跳出藩籬的東西。還記得剛才講的王浩在他瓷磚問題上的錯誤嗎？王浩證明了他的瓷磚排列過程是和圖靈機完全等價的邏輯過程，因此得出了“只要瓷磚的種類有限，就一定可以無限至地週期地排列下去”這個結論。可是他的學生伯格偏偏要跳出藩籬，找出了一個特例推翻了他的證明，就是那個數學上的準晶體。伯格把排列準晶體地板與圖靈機的邏輯推理互相等價，證明只有在圖靈機永遠不停的時候才可能在無限大的地板上排列非週期性結構。換句話說，準晶體的排布可以複雜到讓圖靈機在有限的時間內不能解的程度。
人能比計算機更聰明，這在數學上能否有嚴格的證明呢？ 1930 年，年僅24歲的奧地利博士生庫爾特• 哥德爾（1906～1978）在完成博士論文的時候提出了歌德爾“不完備定理”。不完備定理通俗地說就是一切邏輯系統皆有漏洞，有其顯而易見卻不能在該邏輯系統中利用邏輯推理解決的問題。歌德爾給出簡單的例子，說明在一個用公理嚴格規定好的邏輯系統中, 存在有邏輯推理不能得到，卻可以被人一眼看出的解。聯繫到圖靈機和人，就是說圖靈機雖然可以和人類在解決邏輯問題上水平相當，卻存在有無數個圖靈機完全不能解決而又可以被人一眼看出答案的問題。有其顯而易見卻不能在該邏輯系統中解決的問題。這漏洞就是有關係統本身的問題，因為本身（“我”）的存在而不能自圓其說。就是說，人的思想可以跳出邏輯系統之藩籬而計算機卻不行。在本文中從晶體到準晶體，從糊牆紙群到王浩瓷磚和彭羅斯地板，都是人類靈機一動跳出藩籬的生動例子。那麼人比計算機聰明，是否是因為有了“我”這個概念呢？
人和計算機智能最主要區別當然是人腦是有自我意識的，而計算機只是邏輯推理能力，沒有自我意識。1989年彭羅斯寫了一本書，叫《皇帝的新腦》。在書中他說我們迄今所有的一切科學理論，都不能解釋人類的自我意識是怎麼回事。這本書被譯成中文，並在中國大大出名，我回國的時候竟看到有盜版出售。幾年前彭羅斯來我們學校作報告，我專門拿一本中文盜版的書找他簽字留念。他很高興地聽到他的書竟能火到值得盜版的程度。
彭羅斯認為解釋自我意識需要靠“量子糾纏”這種常人難懂的概念。這量子糾纏雖然是個物理現象, 卻必須要依靠觀察者主觀的“我”才能看到。量子糾纏有個通俗解釋，即所謂“薛定格貓問題”。說在量子糾纏狀態下一個貓可以同時既死又活，只有在觀察者出現的時候量子糾纏才會坍縮，出現死或活二者之一的現象。這個問題把唯物的物理科學引進唯心的世界，用觀察者“我”來解釋一個物理現象。
作為一個神經科學家, 我覺得意識的產生並不需要量子糾纏這個假設。而可以用“由量變到質變”的過程來解釋。這個由量變到質變的過程英文裡有個詞叫“emergence”, 中文的譯法為“湧現”、“突現”、“層展”（馮端先生）或“層展湧現”（趙凱華先生）等。日文譯法為“創發”。我覺得中譯法不夠玄，而日文譯法的“創”又有主觀的意思。我覺得emergence 應該譯成“玄出”。
玄出是以簡單和重複製造複雜事物的過程，以圖５白蟻造窩為例，每隻白蟻只懂得做非常簡單的工作，比如，“銜起一粒土，走回窩”和“把土粒用唾液粘在比前一個白蟻放的土粒更高的位置”等。而當數以萬計的白蟻日復一日地重複同樣的工作時，一個高大宏偉的白蟻堡壘就建成了，建造這個堡壘對保護白蟻種群有極為明確的宏觀意義，但沒有一個白蟻的個體知道這個宏觀意義。從此意義上看，保護白蟻種群這個宏觀意義是從簡單重複的勞動中“玄出”的。同樣，人的大腦中沒有一個神經細胞知道人在想什麼。我們現在已經知道人腦中神經細胞也只會做幾種簡單且定義明確的工作，比如加和積分，振盪等。可是數以億計的神經細胞的活動卻可以玄出像梵高的畫，莫扎特的音樂等不能被圖靈機定義的事物，甚至像自我意識那樣極為複雜，不能被科學定義的概念。王浩瓷磚和彭羅斯地板排列出的準晶體圖案都可以看成玄出的一些簡單的例子。
圖5 白蟻在沙漠裡搭的巢。沙漠裡的樹在幾百萬年來逐漸死光了，只能住在樹幹裡的白蟻怎樣適應？如果讓人類工程師來幫助白蟻，他一定會設計出這種由土堆成的，樹幹形的堡壘。但人類工程師的設計需要人類的智能。而白蟻們雖然也能建造這個宏偉結構，但並沒有一個個體是這個結構的設計師，也沒有一個白蟻懂得它對種群保護的意義
今天的神經科學家在遇到人類自我意識怎樣產生這樣的問題時，一般是繞著走。有的說意識不過是個幻覺。還有人相信二元論，也就是把大腦和意識分開，說自我意識不過是住在神經機器裡的鬼魂。還有極少數比較自信的科學家試圖把他的工作硬扯到能解釋自我意識的高度。但是現代哲學告訴我們，如果你想解釋“我”的存在，就一定會碰到所謂“意識的硬難題”。意識的硬難題在歷史上從古希臘到現代哲學家，包括彭羅斯都有論斷。近年來絕頂聰明的哲學家戴維• 喬莫斯表述了意識的“硬難題”。意識硬難題有很多種表述方法，比如從哥德爾的工作引出的“你知道它是存在的但卻永遠無法證明它是存在的”。有一種我比較欣賞的說法是，“如果你能說清自我意識是什麼，那你說的那東西就不是自我意識”。這也就是老子說過的，道可道，非常道。“可道”是個可用邏輯過程（人類語言）模擬的過程，而“常道”（自我意識）則是不可用圖靈機邏輯過程模擬的事物。
本文選自《現代物理知識》2013年第6期 時光摘編
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