10.14 三位數學家和他們的幾何新世界科學頭條網

作者 | [美]馬里奧·利維奧

來源 | 節選自《最後的數學問題》（原書名《數學沉思錄：古今數學思想的發展與演變》），人民郵電出版社/圖靈新知，2019年9月。

18世紀後半葉，一些數學家為“歐幾里得幾何是唯一一種宇宙空間表現形式”這一思想的葬身之棺釘下了最後一顆釘子。而這一榮譽應當由三位數學家來分享，他們一位來自俄羅斯，一位來自匈牙利，還有一位來自德國。

奇異的新世界

第一位公開發表論文，從整體上闡述這門全新幾何學的人就是俄羅斯數學家尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856，圖 6 - 3）。這是一種建立在像馬鞍一樣的彎曲表面上的幾何。在這門幾何學中（今天我們稱為雙曲幾何），替代歐幾里得第五公理的表述就成了如下的形式：“在平面上給定一條直線和不在直線上的一點，經過該點至少能作出兩條與給定直線平行的平行線。”

圖 6 - 3 羅巴切夫斯基

羅巴切夫斯基幾何學與歐幾里得幾何學還有一個重要的區別：在歐幾里得幾何中，三角形的內角和總是 180°（圖 6 - 4b），而在羅巴切夫斯基幾何中，三角形的內角和總是小於 180°（圖 6 - 4a）。羅巴切夫斯基的學術觀點主要發表在《喀山公報》上，而這份雜誌在當時並不出名，所以他的理論完全沒有得到應有的重視。直到 19 世紀 30 年代，有關羅巴切夫斯基幾何的理論被翻譯為法語和德語後，才引起了人們的廣泛關注。在此之前，匈牙利年輕的數學家鮑約·亞諾什（János Bolyai，1802—1860）並未看到羅巴切夫斯基的文章，也在 1820 年左右系統地闡述了與羅巴切夫斯基幾何類似的幾何學理論。出於年輕人特有的激情，他在 1823 年給父親的信中寫道：“我發現了一些精美絕倫的東西，這讓我無比震驚……我從一片虛無中創造了一個全新的世界。”他的父親鮑約· 法卡斯（Farkas Bolyai）也是一名數學家，圖 6 - 5 是他的肖像。在 1825 年，亞諾什已經完成了研究，準備讓父親看看自己關於這門新幾何學的理論著作的草稿。亞諾什把這份手稿命名為《空間的科學絕對性》。雖然年輕的亞諾什興高采烈，但他的父親卻不能確定這種理論是否正確。不過，法卡斯還是決定把兒子的新幾何作為他本人的兩卷本著作的附錄一同出版——法卡斯的書以研究經典幾何、代數和分析學的基礎為主要內容。據說，這本書寫作手法十分有趣，書名就叫《為好學的年輕人所寫的關於數學基本原理的隨筆》。該書出版後，法卡斯送給了他的朋友

高斯（圖 6 - 6）一本，而高斯不僅在當時就被認為是最傑出的數學家，並且被後世許多人推崇為人類有史以來最偉大的數學家之一，足以和阿基米德與牛頓並肩。可惜，由於爆發了霍亂，送給高斯的那本書在混亂中遺失了，法卡斯又給高斯送去了另一本。高斯終於在 1832 年 3 月 6 日給法卡斯回了信。不過，他的評論與年輕的亞諾什所期望的並不完全一樣。

(a)內角和小於 180° (b)內角和等於 180°

(c)內角和大於 180°

圖 6 - 4

圖6-5 鮑約·法卡斯

圖6-6 高斯

“如果我一上來就說，我無法稱讚這本著作，您也許會感到十分驚訝。但除此之外，我的確沒法再說別的了。這是因為如果我表揚它，就是在表揚我自己。事實上，這本書的所有內容——您兒子的思想和他所得出的結論——與我的想法幾乎一模一樣。而在過去的 30 或 35 年裡，這些想法一直佔據著我的一部分思考。所以我有些茫然無措。迄今為止，我從未把這些結論寫下來，而且我當時想，在我的有生之年都不會把它們拿出來發表。”

我在這裡要插上一句，很明顯，高斯擔心這種激進的新幾何學會被康德學派的哲學家們當作哲學中的異端邪說。高斯稱這些人為“畢歐申人”（Boetians），在古希臘語中，這個詞是“愚蠢”的同義詞。之後高斯繼續寫道：

“另一方面，我當時又想以後把它們都記錄下來，這樣一來，至少它們不會隨著我一起消失。因此，對我而言這真是一個驚喜，這讓我省卻了記錄這些想法的麻煩。我十分高興是我的老朋友的兒子先於我之前把這些思想用文字表達了出來。”

雖然法卡斯覺得高斯對亞諾什的評價很高，他認為高斯的讚揚“令人欣喜”，但是，亞諾什卻因為自己的研究與高斯的思想完全相同而備受打擊，並從此之後徹底地消沉了。在接下來的近十年時間裡，他一直拒絕相信高斯在自己之前就已經開始研究這門幾何的說法，而且，還因此嚴重影響了父子之間的感情——亞諾什懷疑父親過早地把自己的研究結論透露給了高斯。後來，當亞諾什最終確認高斯的確在 1799 年左右就開始研究這一課題時，他變得更加憤世嫉俗，這種糟糕的心態也影響了他的學術研究。在亞諾什去世前，他留下了大約兩萬頁的數學手稿，但相比而言，這些研究顯得暗淡無光。

不過，毋庸置疑，高斯的確對非歐幾何進行了大量思考。他在 1799 年 9 月的一篇日記中寫道：“在幾何的原理方面，我們取得了非凡的成就。”接著，他在 1813 年又提到：“關於平行線理論，我們如今並不比歐幾里得知道得更多。這是數學中讓人臉紅的一部分，它遲早會變成另一種完全不同的形式。”幾年之後，高斯在1817 年 4 月 28 日所寫的一封信中又講道：“我現在越來越確信，今天的（歐幾里得）幾何學的必然性並不能被證實。”最終，高斯得出的結論與康德的觀念恰好相反：歐幾里得幾何不能被視為普適的永恆真理，並且“不能把歐幾里得幾何與算術相提並論（因為算術是先驗性的），但大致可以與力學相提並論”。費爾迪南德·施韋卡特（Ferdinand Schweikart，1780—1859）是一位法理學教授，他在 1818 年或 1819 年寫信告訴高斯，他也獨立得出了類似的結論。由於高斯和施韋卡特都沒有公開發表過他們的觀點和結論，所以在傳統上，人們一直把發現非歐幾何的榮譽歸於羅巴切夫斯基和鮑約·亞諾什——其實，這兩位絕不是非歐幾何的獨家“締造者”。

雙曲幾何猶如晴天霹靂一般打破了數學世界的沉寂，給歐幾里得幾何學唯一的不可動搖的空間描述帶來了沉重打擊。在高斯、羅巴切夫斯基和鮑約之前，歐幾里得幾何長期以來一直被視為世界的本質。然而，人類還可以選擇一套不同的公理來構建一門完全不同的幾何，這一事實讓人們第一次開始懷疑，數學似乎是人類的發明，而不是獨立存在於人思維之外、等待人類去發現的真理。同時，歐幾里得幾何學與真實物理空間之間的直接關係也破裂了， “數學是宇宙的語言”這一思想暴露出了致命的缺陷。

《最後的數學問題》，作者[美]馬里奧·利維奧，人民郵電出版社，2019年9月，點擊封面可購買。

當高斯的一名學生波恩哈德·黎曼證明雙曲幾何並不是非歐幾何的唯一形式時，歐幾里得幾何學的優越地位變得更加岌岌可危了。黎曼於 1854 年 6 月 10 日在德國哥廷根做了一場演講，演講中處處閃耀著天才的思想火花。圖 6 - 7 展示的是這篇後來公開發表的演講稿的第一頁。黎曼藉助“以幾何基礎為前提的猜想”表達了自己的觀點。黎曼一開始就說：“幾何學預先假設了空間的概念，並假定了構建空間的基本原理。但是，幾何對此僅給出了名稱上的定義，而這些概念和原理的本質說明是以公理的形式出現的。” 但他接著又指出：“那些預先假設之間的關係還不為人所知。我們看不出它們之間的任何聯繫是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能預先確定，它們之間是否可能存在聯繫。”在各種可能的幾何學理論中，黎曼重點研究了橢圓面幾何。這是一門建立在橢圓體表面上的幾何理論（圖 6 - 4c）。請注意，在這門幾何學中，兩點之間的最短距離並不是一條線段，而是大圓上的一段弧，而這個圓的圓心恰好也是球心。航空公司就是利用這一特性來確定飛行航線的，所以，從美國到歐洲的國際航班的飛行線路並不是我們在地圖上看到的直線，而是一段向北的大圓弧。你可以很輕易地證明，任意這樣的兩段大圓弧都會在直徑的兩端相交。例如，地球上的任意兩條經線，在赤道附近看上去是平行的，實際上卻會在兩極相交。在歐幾里得幾何學中，經過直線外的一點只能作一條與該直線平行的平行線。而非歐幾何則不同。在雙曲幾何中，經過直線外的一點至少能作兩條與該直線平行的平行線。而在橢圓面幾何中，連一條這樣的平行線也沒有。黎曼把非歐幾何的概念推向了更為廣泛的天地——他把這類幾何引入三維、四維，甚至維度更高的空間曲面中。在這個過程中，黎曼拓展出了一個關鍵概念——曲率。曲率標識了曲線或曲面的彎曲比率。例如，在一個雞蛋殼的表面上，蛋殼中段部分的曲線要比經過蛋殼兩端尖頭的曲線平緩，也就是說曲率要小。黎曼提出了任意多維空間中的曲率的精確數學定義。通過這一定義，黎曼讓最早由笛卡兒提出的“幾何與代數的結合”變得更加緊密。在黎曼的研究中，包含任意多個變量的方程式都能在幾何學中找到自己的對應，而高級幾何中的新概念也成了方程式的一部分。

圖 6 - 7

19 世紀出現了全新的幾何之後，歐幾里得幾何並不是唯一的受害者，康德關於空間的思想也未能倖免。讓我們回想一下，康德曾經斷言，人類感知到的信息在進入意識之前，必須經過歐幾里得幾何學中的模板加以重組。但是，19 世紀幾何學家們的“直覺” 似乎在一夜之間全部被喚醒了。很快，他們就在非歐幾何領域取得了眾多進展，並開始學習沿著非歐幾何指明的全新道路去感受世界。最終，歐幾里得幾何學對空間的感知竟然被證明是後天學來的，而不是直覺獲取的。面對這些劇烈的變化，法國著名的數學家亨利·龐加萊（Henri Poincaré，1854—1912）提出，幾何的公理“既不是綜合的先驗性直覺，也不是經驗事實。它們是約定俗成的。我們根據經驗事實做出選擇，而這種選擇是自由的”。換句話說，龐加萊僅把公理視為“偽裝的定義”。

龐加萊的觀點不僅受到了上述非歐幾何思想的啟發，同時也受到了當時不斷湧現的其他新幾何的鼓舞。在 19 世紀末前，新幾何的發展似乎不受控制了。例如，在投影幾何學（比如，當電影膠片上的影像被投射到屏幕上時形成的圖形）中，直線和點這兩個角色可以互換，因此，關於點和線（請注意這裡的次序）的定理能變為線和點的定理。在微分幾何學中，數學家利用微積分研究各種數學空間的局部幾何屬性，例如球面或環面上的幾何屬性。這幾類幾何和其他類型的幾何乍一看似乎是數學家充滿想象的發明，而不是對物理空間的精確描述。那麼，後人又該如何證明“上帝是數學家”？畢竟，如果“上帝總在研究幾何學”（歷史學家普盧塔克認為這句話出自柏拉圖），那麼哪一種幾何是神采用的呢？

很快，對歐幾里得幾何缺點的深刻認識引起了數學家對數學基礎的普遍關注，特別是數學與邏輯之間的關係。我在這裡就提一句：“公理是不證自明的”這一觀點已經動搖了。雖然 19 世紀的人們也見證了代數和分析領域的一些重大進展，但是，幾何學的發展對數學本質問題的影響是最深遠的。