如果說有哪位數學家能僅憑几篇論文就可以創造和改變數學，那我想這個人一定是黎曼。黎曼在不足40年的短暫生命裡發表過的論文寥寥無幾，加起來也只有不厚的一卷，但幾乎每一篇論文都產生了革命性的影響。他對現代數學的深刻影響屬於最高層面，他用極少數的文章構建了多種數學的框架，後世的數學家很多都是在完善他的數學理論時才取得了重要成果。黎曼是數學史上最具創造力的數學家之一，儘管他一生短暫，但也足以躋身最偉大的數學家之列。同時，黎曼也在物理學上成就卓著，深刻揭示了數學和物理之間的聯繫。黎曼不僅是數學家，物理學家，他更是一位偉大的科學思想家。
1826年9月17日，黎曼(Riemann,1826~1866)出生於德國漢諾威。黎曼的父親是當地牧師，母親則是一名法律顧問的女兒，貧困的一家共有六個孩子，黎曼排行第二。由於長期營養不良，黎曼的兄弟姐妹中很多後來都早逝了，積勞成疾的母親不久之後也撒手人寰。但一家人天生的樂觀與和諧的氛圍還算是對黎曼的一絲安慰。由於家庭的不幸，黎曼從小便有一種近乎頑固的膽怯，為了克服這種膽怯，無論做什麼事他都要準備得非常充分，生怕出錯。
六歲的時候他開始學算術，數學天賦在這時候一下子就顯露出來，他不滿足於做題，還喜歡出題去考他的父親，很多時候他的父親對這些題也無能為力。大約10歲的時候，他又跟隨一位名叫舒爾茨的教師學習更高級的算術和幾何，但老師很快發現自己的思路已經跟不上這個天賦異稟的學生。後來他又進入中學學習，孤僻的性格使得他成為同學們捉弄的對象。後來黎曼乾脆經常往家裡跑，儘管來去要花費他好幾個小時，而且只能走路，只有在家裡他才能感受到溫暖。
在學校裡，黎曼這樣出色的才能是絕不可能被老師們忽視的。希伯來語老師賽菲爾見黎曼如此大費周折地往家裡跑，就讓他去自己家寄宿，這節約了黎曼很多時間。而中學校長施馬爾福斯也十分看中黎曼傑出的數學才能，允許他隨意看自己的藏書和不用上數學課。後來校長推薦黎曼把勒讓德的800多頁鉅著《數論》帶回家去研究，令人驚訝的是黎曼僅僅六天之後就還了書。就算過了幾個月，他還可以對書中的內容娓娓道來。黎曼對素數的興趣大概就是從此時開始的。由於自己性格中的過分膽怯和近乎病態的謙虛，黎曼並沒有意識到自己的數學能力到底有多強。
在中學裡，黎曼不僅通過勒讓德的著作學到了大量數論知識，還通過歐拉等人的著作學習到了分析學的很多知識。在這個時候黎曼也逐漸形成了自己深刻的哲學觀念，他始終認為研究應該注重中心思想而不是好看的形式，而且也應不去追求理論過分的普遍性。這樣的思想貫穿了他一生的研究。
受父親從小的影響，黎曼一直都是一個善良虔誠的基督信徒，去哥廷根大學的時候，他也聽從了父親的建議，選擇學習哲學和神學併為之奉獻一生。但做這樣的選擇背後也有現實因素，黎曼需要儘快找到一個有工資的工作來養活貧困的一家人。而到了哥廷根之後，他還是情不自禁去聽了斯特恩關於方程和積分，高斯關於最小二乘法的數學講座，並且很快就深深陷入其中了。不久之後經過深思熟慮，黎曼還是忐忑不安地向父親寫信坦露自己想轉學數學的想法。一向寵愛黎曼的父親最終還是同意了他的決定，對此黎曼一直身懷感激。我想更應感謝老黎曼的應該是我們，否則我們將失去一位偉大的數學家。
在黎曼那個時代，儘管哥廷根有高斯的坐鎮，但德國的科研中心仍在柏林。在哥廷根學了一年之後，求知慾旺盛的黎曼轉學來到柏林。在這裡，他向雅可比學習力學和代數，向狄利克雷學習數論和分析，向施泰納學習幾何。更重要的是他結識了同齡人艾森斯坦，黎曼不僅從他這裡學到了橢圓函數的知識，還從親切的交談中找到了很多慰藉和自信。也正是在這時和艾森斯坦的討論中，一個大膽的想法開始在他頭腦中形成，他要從最少的假設和公理出發，以最為簡潔的方法建立整個複變函數論。這樣的想法一直縈繞在他頭腦中，等待開花結果的一天。
最終在博士論文《複變函數一般理論基礎》中，黎曼完成了他的構想。他從最簡單的柯西-黎曼方程出發，以分析的觀點定義解析函數，而不是之前的幾何定義。在論文中，黎曼提出了複變函數論中最深刻的定理之一—黎曼映射定理，這不僅是復變函幾何理論中最重要最基本的定理，也是幾何函數論的出發點。他也與柯西一起成為這個學科的創始人。後來的數學雙獎得主，複分析大師阿爾福斯評價這篇論文時說道:“這篇論文不僅包含了現代複變函數論主要部分的萌芽，而且開啟了拓撲學的系統研究，革新了代數幾何，併為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路”。
在這篇論文中，黎曼為了處理多值解析函數，提出了黎曼曲面的概念，形象一點來說，就像是把不同的平面結合成一個平面，這樣多值函數就成了單值函數，這給研究帶來了巨大便利，後來在研究阿貝爾函數時，黎曼進一步完善了黎曼曲面的理論。而對黎曼曲面的研究之後又形成了深刻的理論，直接影響了多複變函數論、復幾何、代數幾何和代數數論的發展。而且他還提出了非常深刻的黎曼-羅赫定理的雛形，後來由他的學生羅赫所改進完善。毫無疑問，僅憑這篇博士論文，黎曼就足以名載史冊。這篇論文使得高斯激動不已，十分挑剔的他對這篇論文也只能讚賞。他評價說:
“黎曼先生提出的論文提供了一個令人信服的證據，作者對所處理的主題的相關方面有透徹深刻的研究，同時證明，黎曼先生有一個創造性的，積極活躍的和真正數學的頭腦，並且具有極其豐富首創精神。文章清晰簡潔，處處顯得十分優美。整個論文是一項實質性的工作，它遠遠地超過了博士論文的標準”。
這樣高度地評價一個學生的成果，在高斯一生中是極其罕見的。而黎曼完成這一創舉時才25歲。
在柏林學習兩年後，黎曼回到了哥廷根，這時他又深深地愛上了物理。最後三學期，黎曼跟隨著韋伯進行實驗物理的研究，埋頭在實驗室觀察放電現象和靜電效應，研究氣體流動和測定熱傳導係數。黎曼深感牛頓絕對時空觀的侷限，他覺得應該要有更為深刻的哲學觀和宇宙觀來指導這些研究，於是他又開始熱衷於參加哲學講座。後來黎曼總結說:“可以建立一套完全而嚴密的數學理論，它由單個質點的基本出發，發展到我們所知道的現實空間的過程，這裡沒有引力、電力、磁力和熱力的區別”。從那時候起，黎曼就開始思考統一物理定律的數學基礎。後來克萊因評價黎曼的工作時說:“黎曼用他的數學才能為自然科學本身開闢新的途徑。然後又把自然科學作為形成數學中的新概念的動力”。
我們現在很難想象黎曼為什麼在當時會產生如此超前深刻的物理思想，這在當時是十分大膽的，也僅有高斯這樣具有遠見的大師才能體會其中的合理性。後來的物理發展表明，黎曼的思想是多麼深刻而正確。
儘管黎曼是這樣出色，但他畢業後不得不面臨生存的壓力，他期望的正式教職還遙遙無期。為了爭取一個非正式教師的資格，黎曼遞交了論文《關於利用三角級數表示一個函數的可能性》，也正是在這篇論文中，黎曼給出瞭如今的“黎曼積分”理論，深刻改變了當時的積分學面貌。恰巧這時狄利克雷來哥廷根訪問，黎曼趁機請他給自己的論文一些建議。儘管黎曼在柏林聽過狄利克雷的課，但由於自己的膽怯，當時並沒有給狄利克雷留下什麼印象，但這次黎曼的天才和謙虛一下子就吸引了狄利克雷。後來狄利克雷給過黎曼許多幫助，特別是改善他研究條件上。
黎曼為了成為一名講師，他還必須做一次就職演講。為此他準備了三個題目，前兩個是自己拿手的，按慣例委員會會選取第一個，因為大家都會把自己擅長的放在前面，而評審也無意為難。正因如此，黎曼隨便選了第三個自己不怎麼熟悉的題目—幾何基礎。而高斯看到這三個題目之後，非常高興地選了第三個，因為這正是自己思考了幾十年的問題，他十分想看看這位數學天才能做出什麼新東西來。高斯對這個題目甚是滿意，但對黎曼而言卻是晴天霹靂，他在準備這個自己不熟悉的題目的同時，還醉心於研究物理，他不得不同時進行這兩項極端困難的工作。由於過度的緊張和疲勞，黎曼還是病倒了。
天氣好轉後，黎曼逐漸康復了，為了趕時間，黎曼一鼓作氣，在七個星期內完成了自己的就職演講。論文的內容還受了很多做物理研究時的啟發。但後來高斯又病倒了，演講的日子不得不延後。最終在1854年6月10日，數學迎來了這個偉大的演講。黎曼熱情洋溢地向大家講述自己對革新幾何學的看法，為了使大家都聽得懂，黎曼沒有使用太多分析技巧，這也使得他的思想沒有被表達得很清楚。但高斯聽後仍然激動不已，再一次高度評價了黎曼的工作。直到黎曼逝世後第二年，這次演講才以《論關於作為幾何基礎的假設》為題正式出版。一石激起千層浪，各路數學家爭先恐後投入到黎曼幾何理論研究中，迅速充實了它的內容，黎曼幾何一下子就顯示出了強大的威力，不僅在描述空間上具有巨大優越性，更為物理幾何化的工作提供了堅實基礎。
黎曼從研究空間的局部性質入手，拋棄幾何直觀，改用分析的方法來描述幾何。高斯曾提出觀點:曲面本身就是一個空間，並發展了三維內蘊幾何學。黎曼乘勝追擊，直接將高斯的工作推廣到任意n維空間上，並且他提出了更一般的空間—流形。他把之前非歐幾何的研究做了綜合，將它們納入自己的體系內，並且給出了合理的解釋，這些非歐空間是實際存在的，他們適用於不同的對象，例如牛頓力學，宇宙空間和時間，規範場論等，這些空間並不是虛構的東西。黎曼更是藉助自己的幾何理論明確提出，空間不能脫離物質而存在，而且空間形式會隨時間而變化。這一思想徹底打破了的牛頓的絕對時空觀，沿著黎曼的思想，思考時間與空間的相對論也就呼之欲出了。
黎曼幾何的誕生徹底改變了微分幾何學的面貌，也直接影響了數學甚至科學發展的進程。它不僅是一門學問，更是一種理解宇宙的光輝思想。毫無疑問，黎曼幾何是如同微積分那樣具有劃時代意義的偉大成就。
黎曼獲得講師席位後仍然一貧如洗，但他仍然在阿貝爾函數、超幾何級數和微分方程上取得了一些列重要成就，而且很多都是開創性的貢獻，特別是他利用黎曼曲面研究阿貝爾函數和積分的工作，影響十分巨大。當上副教授後，更大的不幸降臨，黎曼的弟弟去世，養活一家人的重擔全部落在了他的身上，生活一下子又變得十分艱難。儘管如此，一家人還是互相幫扶，其樂融融。
狄利克雷逝世後，按照他的意願，黎曼接替他的位置成為哥廷根大學的數學教授，後來當局為了改善他的生活條件又安排他和高斯一樣，同時去天文臺工作。這一年，黎曼又給出了一篇劃時代的論文《論小於某給定值的素數的個數》，其中的黎曼猜想如今已成為數學中最重要的猜想，對它的研究已經催生了大量成果。第二年黎曼前往巴黎訪問，又拿出來“巴黎之作”—《論熱傳導中的一個問題》，而這又是數學物理研究史上的里程碑。而且在此文中，黎曼進一步完善了他的幾何理論，特別地是提出了二次微分形式的理論，而這些為其應用於解釋物理奠定了基礎，特別是後來的相對論。
1862年，黎曼婚後不久，由於長期的貧困和疲勞，黎曼的健康狀況每況愈下，不僅得了肋膜炎，之後又感染了肺炎。黎曼不得不放下手中大量未完成的工作和手稿，前往意大利療養。第二年黎曼的女兒出生，但他最後的妹妹也在這一年因病去世。後來黎曼因為得了黃疸而病情更加嚴重，特別是在冬天，他不得不再次前往溫暖一點的意大利。戴德金這樣講述了他這位偉大朋友生命中最後的日子:
“黎曼的體力很快衰竭下去，他意識到自己的日子已經不多。臨終前一天，他在無花果樹下工作，環繞著他的是光榮的里程碑。他的心靈充滿喜悅。……沒有掙扎和痛苦，他的生命之火漸漸熄滅。他好像在饒有興味地注視著肉體和靈魂的分離，……”。
1866年7月21日，還不滿40歲的黎曼就這樣永遠離開了這個他深懷熱愛的世界，儘管這個世界對他而言太過殘酷……但他的光輝思想將永遠照耀我們這個世界。如果黎曼可以多活10年，也許今天的科學麵貌又會不一樣。
閱讀更多 數學掃地僧 的文章
