01.18 複數的意義——複數的幾何表示

當給出了複數的幾何解釋之後，人們才真正地感覺到了複數的存在，才逐漸接受了複數。把直角座標系的橫軸定義為實軸，縱座標定義為虛軸，稱這樣的座標系為複平面。一個複數z=x+yi對於於複平面一個點或者一個向量，向量頂點為Z(x,y)，如下圖所示

圖1

為了定義的合理性，這個向量的長度應當是與實數的情況一樣，圖1啟發我們可以考慮複數的共軛。用z’=x-yi表示z的共軛（說明：頭條裡無法識別共軛符號對象，所有用’代替-），如圖1所示，這是z的以x軸為對稱的向量。如果用ρ表示向量的長度，則由勾股定理和複數共軛的運算可以得到：

ρ=√x²+y²=√z•z’

有時也表示為ρ=|z|，並稱其為複數z的模，因為共軛是對稱的，因此ρ=|z’|。“模”這個詞是瑞士數學家阿爾岡命名的，寫在他1806年出版的著作《試論幾何作圖中虛量的表示法》之中。進一步，我們還可以用三角函數來表示複數，如果用φ表示向量與x軸的夾角，那麼，有

x=ρcosφ,y=ρsinφ和z=ρ(cosφ+isinφ) (1)

現在，複數的加法就等價於向量的加法了，如下圖

圖2

對於兩個複數z1和z2的加法可以用平行四邊形法則，這樣又與力學有機地結合起來了。

特別是，利用（1）式的表示計算複數的乘法是非常方便的，用ρ1和ρ2以及φ1和φ2分別表示這兩個複數z1和z2的模以及夾角，由三角函數的加法公式可以得到

z1•z2=ρ1ρ2(cosφ1+isinφ1)(cosφ2+isinφ2)

=ρ1ρ2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]

這就是說，兩個複數相乘就是“模相乘，角相加”。於是對於一個複數的自乘可以得到一般公式

Zⁿ=ρⁿ(cos nφ+isin nφ)

這個表示是相當便捷的。當複數的模為1，即ρ=1時，則得到用英國數學家棣莫弗命名的公式

Zⁿ=(cosφ+isinφ)ⁿ=cos nφ+isin nφ

歐拉在他1748年出版的著作《無窮分析引論》中進一步討論了複數的棣莫弗公式的改進形式：

e^±ip=cosφ±isinφ

建立起了三角函數與指數函數的關係

雖然複數不是從日常生活和生產實踐中抽象出來的，但是，給出了複數的合理解釋，並且構建起復數與其他數學表達之間的關聯，使得複數作為一種研究工具變動逐漸重要，這些都促使高斯在1835年發表於《哥廷根學報》的論文中引入了“複數”一詞，以此來區別含義不清的“虛數”一詞。在這之後，柯西建立了複變函數的基本理論。