06.03 黑洞的本質

編者按：2018年，中國科學院理論物理研究所迎來建所40週年。40年前，改革春風吹遍神州大地，全國科學大會勝利召開。1978年6月9日，經時任國務院副總理鄧小平等中央領導同志的批准，中國科學院正式發出《關於建立理論物理研究所的通知》。

值此40週年之際，中科院理論物理所收集近期完成的分散在各個雜誌上或者網站上的部分優秀科普作品結集出版，一方面用以慶祝理論物理所建所40週年，另一方面可以更好地傳播科學知識並鼓勵大家為傳播科學精神、科學文化和科學知識做出更大貢獻。

理論物理研究的對象從空間尺度上小到夸克，大到整個宇宙；從時間尺度上從宇宙的誕生直到宇宙的未來，所以研究對象極其豐富，研究內容博大精深。本期，小編摘編了蔡榮根、曹利明先生著《黑洞的本質》，以饗讀者。

《從夸克到宇宙：理論物理的世界》

經典黑洞的本質

什麼是黑洞

粗略地說，“黑洞是時空中連光都逃逸不出的區域”。這是一個樸素但又非常不平凡的關於黑洞的描述方式。真正地理解這一描述是一件不容易的事，原因在於人們對於時空概念理解的不同，或者對連光都逃逸不出這一過程界定的不同。這裡我們願意從歷史發展的眼光來看待這個問題。

在介紹黑洞這個概念時，很多人願意提及如何在牛頓力學的框架下理解一個黑洞。這種想法可以追溯到18世紀的英國牧師兼自然哲學家米歇爾（Mitchell）。1783年，米歇爾在寫給卡文迪許（Cavendish）的一封信中提出了暗星的概念（圖１）。

圖１ 米歇爾寫給卡文迪許的信中關於暗星的部分

這封信中的內容於1784年在英國皇家學會發表。同時代的法國著名學者拉普拉斯(Laplace)於1796年也獨立地提出暗星的想法，且將這個想法寫到了其著作Exposition du Système du Monde的第一和第二版中，並於1798年給出了一個光逃逸不出的證明。拉普拉斯的工作被霍金(Hawking)和埃利斯(Ellis)翻譯成英文，並放在他們1973年所著的The Large Scale Structure of Space-time一書的附錄中，因此廣為人知。1979年，劍橋大學的引力物理學家傑彭斯(Gibbons)在New Scientist雜誌中的一文指出了米歇爾的工作。自那時起，米歇爾的貢獻才被人們廣泛知悉。

拉普拉斯關於暗星的討論基於牛頓引力理論和光的粒子學說：如果星體表面光子的動能小於它的引力勢能，光子便不能夠逃逸到無限遠處。由此可以很容易得到質量為M的星體成為暗星時的最大半徑為R=2GM/c²，其中c是光速，G是牛頓常數。這就是所謂的暗星，也是迄今為止人們能夠發現的人類關於黑洞最早的一個認識。需要指出的是：這個半徑恰好是愛因斯坦廣義相對論中所預言的施瓦西黑洞的施瓦西半徑。但這只是一個巧合。事實上，在同時代的學者看來，拉普拉斯等人的討論存在著明顯的漏洞，即需假定光速不依賴於參考系。但這和牛頓力學中任何物體的速度(包括光速)是一個相對的量相沖突。在牛頓力學框架下，總有一些物理過程(例如星體表面附近速度很大的電子發射光)使得光子的速度超過c，並可以逃逸到無限遠處天文學家的望遠鏡(圖2)。在牛頓力學的框架下，物理信號可以以無限大的速度運行，因此牛頓理論所在的時空中不存在信息逃逸不出的區域，即不存在真正黑洞的概念。當然我們現在知道光速不依賴於參考系是狹義相對論的一個基本假設。可見，若希望理解黑洞，相對論性的時空觀是必要的。

圖2 米歇爾和拉普拉斯的暗星。牛頓時空中不存在真正意義上黑洞的概念

在牛頓時代或更早，人們關於時空的認識是接近日常生活的。先知告訴我們：在這些時空中時間和空間是分離的(這是一種典型非動力學的，人為加入的“背景結構”)，每一個時刻都存在一個三維的空間。

時間和空間的分離意味著我們需要兩套度量，分別來衡量時間的間隔和空間的間隔。牛頓引力理論就是建立在這樣的時空之上，相應的引力場方程是一種典型的橢圓方程，即泊松方程。因此牛頓引力理論中沒有引力波的概念。而引力相互作用是一種超距作用，物理信號的傳播速度可以是無限大。雖然牛頓引力理論在物理上簡單直觀，但其數學結構是相對複雜的。除了需要引入兩套退化的度規，人們還需要額外的聯絡結構。而且這種聯絡結構並不能由這兩套度規確定。在相對論性時空中時間和空間沒有先驗地分離，而是融合在一起成為一個四維的對象。這意味著相對論性的時空只需要一個衡量“時空間隔”的度量，或者說只需要一個度規。更進一步地，很多情況下，用來描述時空彎曲程度的聯絡也由度規唯一確定。因此相對論性時空中沒有“人為的背景”，具有比牛頓引力理論更為簡單的數學結構。任何物理信號都不能超光速，這一基本假設要求時空的每一點處都能夠構造出一個光錐(圖3)。

圖3 相對論性時空上每一點處的矢量可以分為三類：類時、類光、和類空。類時矢量可以看作過該點的質點世界線在該點的切矢量，而類光矢量可以看成是過該點的光的世界線的切矢量，即光的4波矢

換句話說，這個度規是洛倫茲的。這樣，一個相對論性時空可以看成是一個二元組(M,g)，即一個四維流形M配上一個洛倫茲度規g。或者說一個相對論性時空就是一個洛倫茲流形。在物理上，相對論性時空上的引力理論更為自然。如廣義相對論中的愛因斯坦場方程，通常可以寫成一個非線性(擬線性)偏微分方程組，而且在一些特殊的座標系（如諧和座標）下具有雙曲方程的特徵。這意味著相對論性的引力理論具有傳播自由度，存在引力波的概念。事實上，最近位於美國路易斯安那州和華盛頓州的激光干涉引力波天文臺(LIGO)已經直接觀測到了引力波的存在。這一引力波是由二個轉動黑洞併合後產生的。在相對論性引力理論中，引力相互作用以有限的速度(如光速)傳播，而不是超距作用。引力現象歸結為時空的彎曲程度，這表明在一個相對論性的引力理論中度規也是動力學的，而不是簡單地作為背景或舞臺出現在物理理論中。度規即是背景又是動力學變量這一特徵是相對論性理論的一個核心。可以說，相對論性引力理論(如廣義相對論)中的一系列重要的結論和困難都和這一事實密切相關。

比起牛頓或伽俐略時空，相對論性時空除了擁有類時和類空無限遠，還擁有類光無限遠的概念。形象地說，所謂的類光無限遠可以理解成時空上光線能夠延伸到的最遠的“端點”的集合。通常來說，人們用來I+代表未來類光無限遠。在閔氏時空上的任意一點發射的光都可以達到類光無限遠。但是不是所有時空都有類似的性質呢？答案並不是。黑洞就是這樣的時空，在這個時空中的一些區域發出的信號無法到達類光無限遠。如果我們記時空為(M,g)，那麼這樣的區域可以記為

B=M-I^-(I⁺)

這就是時空上的黑洞區。其中I^-(I⁺)代表未來類光無限遠I+的過去。簡而言之，所謂的黑洞區就是時空上連光都逃逸不出的區域。需要強調的是：這裡的時空是相對論性的時空，而光逃逸不出指的是光不能夠到達未來類光無限遠。黑洞區域的邊界稱為“黑洞事件視界”(event horizon)。因此人們常說：所謂的“黑洞事件視界是時空未來類光無限遠過去的邊界”。事件視界這個詞最早由奧地利物理學家倫德勒(Rindler)]於1956年在宇宙學的研究領域內引入。當然他研究的是所謂的觀測者的事件視界，不同於我們這裡的黑洞事件視界(圖4)。

圖4(a)為某個觀測者的事件視界。觀測者世界線的過去是圖中的陰影部分，也是觀測者有可能探測到的時空的最大區域。而他(她)的事件視界是這個區域的邊界。圖(b)中的Ⅱ區為最大擴張施瓦西時空中黑洞區B。黑洞的事件視界是這個區域的邊界。上圖中的每一點代表一個二維的曲面。圖(b)中的各種無限遠已經通過共性映射拉到有限處。這樣，壓縮掉兩維後，我們可以將時空畫在一張紙上。這種圖稱為彭羅斯卡特圖。在這種圖中光的世界線都是和豎直方向成45°夾角的直線，如圖中的直虛線。圖(b)上下的鋸齒線代表最大擴張施瓦西時空中的奇點

1969年英國數學物理學家彭羅斯(Penrose)將這一概念發展成所謂的“絕對事件視界”，也就是我們這裡的黑洞事件視界。當然黑洞事件視界也可以理解為一族逃逸到無限遠處的觀測者共有的事件視界。因此我們也可將黑洞區定義為M－I^－(R），其中R是上述的所有觀測者所形成的集合。黑洞事件視界是時空中的類光超曲面(時空的3維子流形)，也就是說它的母線是類光曲線。

廣義相對論中黑洞的小歷史

1915年愛因斯坦建立了廣義相對論。這是一種典型的相對論性引力理論，時空度規滿足的引力場方程就是著名的愛因斯坦場方程。20世紀60年代以前，人們關於廣義相對論的研究主要集中在時空的局部性質。典型的做法是在某個局部座標系中求解愛因斯坦場方程和研究一些物理現象。例如：1916年，在廣義相對論誕生3個月左右，德國物理學家和天文學家施瓦西(Schwarzschild)發現了愛因斯坦場方程的一個球對稱解，也就是著名的施瓦西解。1918年，考慮電磁場後，萊斯納(Reissner)和諾斯特朗(Nordstrm)發現了球對稱的解，也就是所謂的萊斯納諾斯特朗解。在某個座標系中求得的解只是愛因斯坦方程的一個局部解。它極有可能是更大的一個時空的一部分。二十世紀二三十年代，愛丁頓(Eddington)和勒梅特(Lematre)將施瓦西解擴張到圖4中的Ⅰ區和Ⅱ區。到了50年代，辛格(Synge)意識到這種擴張的不完備性，並將時空擴張到包含了Ⅲ區和Ⅳ區。1960年克魯斯卡(Kruscal)和塞凱賴什(Szekeres)分別獨立地實現了這種擴張。這樣人們實現了施瓦西時空的最大擴張。1963年，新西蘭物理學家克爾(Kerr)又發現了軸對稱穩態的轉動解，即克爾解。1965年，紐曼(Newman)發現了帶電荷的克爾解，稱為克爾紐曼解。1967年，博耶爾(Boyer)和倫德奎斯特(Lindquist)實現了克爾解的最大擴張。隨後，1968年，卡特(Carter)完成了克爾紐曼解的最大擴張。在這些研究中，人們發現擴張後的時空中存在著因果不連通的區域。例如：1958年芬克爾斯坦(Finkelstein)意識到施瓦西時空的Ⅰ區和Ⅱ區是因果不連通的。它們中間存在著因果壁壘，物理信號無法從Ⅱ區傳播到Ⅰ區。這就是黑洞事件視界這個概念的雛形。物理上我們並不要求所有的時空都是最大擴張的，例如：在現實世界中，很多時候最大擴張施瓦西時空的Ⅰ區和Ⅱ區所形成的小一些的時空就足夠了。在1967年之前，“黑洞”這個名詞並沒有在物理學界廣泛使用(那時人們用“凍結星體”或“塌縮的星”等來描述黑洞)。唯一可知的記錄是1964年美國女科學記者尤因(Ann Ewing)在Science News Letter上發表的一篇關於“黑洞”的短文(圖5)。

1967年12月29日，美國著名物理學家惠勒(Wheeler)在哥倫比亞大學的一次題為“Our Universe：the Known and Unknown”的公眾講座中使用了“黑洞”這個詞，從那時起“黑洞”逐漸成為物理學中的一個專有名詞。

圖5 安·尤因最先使用了黑洞這個名詞

直到20世紀60年代，人們關於時空整體性質的研究才獲得實質性的進展。1962年底，彭羅斯引入了時空的共形完備技術。自此，人們關於時空漸近無限遠的行為研究和時空因果結構的研究擁有了相對系統的手段。伴隨著研究方法的改進和克爾解的發現，從1960年初到1970年初，廣義相對論和黑洞物理的研究取得了輝煌的成就。有時候，這10年左右的時間被稱為黑洞物理的“黃金年代”。在這段時間內人們給出了黑洞的數學定義和關於黑洞的一些重要性質。例如：奇異性定理、唯一性定理(無毛定理)、黑洞的力學四定律，和霍金輻射等等。這裡我們做一點簡單的介紹。

20世紀30年代初，錢德拉塞卡(Chandrasekhar)和朗道(Landau)已經意識到星體塌縮成白矮星應該有個質量上限。事實上，1931年錢德拉塞卡的計算給出了恆星塌縮形成白矮星的質量上限為大約14個太陽質量。但錢德拉塞卡和朗道的討論是基於牛頓力學。1939年，基於愛因斯坦方程，奧本海默(Oppenheimer)和斯奈德(Snyder)研究了球對稱流體的引力塌縮問題，並發現：當星體的質量很大時，沒有什麼可以阻止星體的塌縮，最終它必然塌縮到一個點(即施瓦西黑洞的奇點，見圖3(b)中的鋸齒線)。但奇點的出現是不是和球對稱的假設有關呢？答案是否定的。彭羅斯、霍金、蓋羅奇(Geroch)的一系列奇異性定理回答了這個問題——奇點的形成和對稱性沒有關係。1965年彭羅斯證明：只要時空中存在2維的俘獲面，奇點就不可避免地形成(但這個證明中用到了時空的整體雙曲條件)。1970年霍金和彭羅斯改進了證明，所需的條件被放鬆，建立了他們著名的奇異性定理。這些奇異性定理告訴我們：如果廣義相對論正確，大質量星體塌縮形成奇點是必然的。

1967年，物理學家以色列(Israel)證明了靜態(無轉動)黑洞的無毛定理：真空愛因斯坦方程的靜態漸近平坦解必然是球對稱的，因此是施瓦西解，從而只需要用一個質量參數便可唯一確定。以色列在其文章結束部分指出了將這個唯一性定理推廣到轉動解的情況的重要性。隨後，在1971年，卡特給出了一個關於克爾解唯一性的證明。那時候人們已經逐漸相信大質量恆星引力塌縮的終態必然是克爾紐曼解，而且只需要用三個參數確定，即質量、角動量和電荷。因此，1971年惠勒和魯菲尼(Ruffini)用“黑洞無毛假設”來描述黑洞的這種性質。黑洞無毛是一個讓人很吃驚的結論：不具備任何對稱性的初始引力系統，經過引力塌縮最終會形成一個穩態軸對稱的簡單系統——黑洞。對於這一現象，1969年彭羅斯最先給出了一個解釋：在引力塌縮過程中，初始的多極矩都被輻射殆盡，只留下質量、角動量和電荷這三個量。這種想法最終被普賴斯(Price)在1972年關於引力塌縮的研究中證實。需要指出的是：實際上1971年卡特的證明是不完備的。1972年霍金證明了剛性定理和拓撲唯一性定理：穩態黑洞要麼是靜態，要麼是軸對稱的，以及黑洞事件視界截面在拓撲上是一個球面。基於卡特和霍金等的工作，1975年羅賓森(Robinson)完善了卡特的證明。一直到1982年克爾紐曼解的唯一性才被澳大利亞學者邦廷(Bunting)和波蘭學者馬祖爾(Mazur)分別獨立地證明。

霍金在1971~1972年研究了黑洞事件視界截面面積的演化，並發現這個面積是不減的。這就是所謂的黑洞面積定理。黑洞無毛定理表明黑洞的形成會導致熵的丟失。為了解決熵丟失的問題，1972年貝肯斯坦(Bekenstein)提出黑洞的熵應該正比於黑洞事件視界截面的面積。霍金並不認同貝肯斯坦的想法，認為貝肯斯坦錯誤地理解了他的面積不減定理，且於1973年與巴丁(Bardeen)和卡特建立了黑洞的力學四定律，並強調：雖然這四條定律和熱力學中的四條定律非常相似，但黑洞不是一個熱力學系統。這是因為：通常來說，如果有熵的話，就需要一個溫度的概念。有溫度就會存在熱輻射，而這對於經典黑洞來說是不可能的。蓋羅奇甚至在1971年設計了一個模型來反駁貝肯斯坦的說法。貝肯斯坦處境尷尬。但前蘇聯物理學家澤爾多維奇、斯塔羅賓斯基(Starobinsky)和美國物理學家米斯納(Misner)等認為黑洞輻射粒子也不是不可能的，例如：轉動黑洞彭羅斯過程的“波”版本，即“超輻射”就是從轉動黑洞的無限紅移面內的能層(ergosurface)內輻射出粒子。但超輻射只侷限於轉動黑洞，且實質上並不涉及量子理論。1973年霍金訪問莫斯科，與澤爾多維奇和斯塔羅賓斯基討論了超輻射的問題。霍金認為澤爾多維奇和斯塔羅賓斯基關於超輻射的討論在物理上是可靠的，但不太喜歡他們計算超輻射的方式。他希望用一個更好的方式來研究這個問題，並與當年11月份找到了處理辦法。但他發現：考慮時空上場的量子效應後，即使是不轉動的靜態黑洞也會輻射出粒子，而且無限遠處觀測者看到的輻射粒子的譜是一個熱譜，相應的溫度正比於黑洞的表面引力，這就是霍金輻射，而這個溫度被後人稱為霍金溫度。霍金並不希望支持貝肯斯坦的想法，因此反覆檢驗了計算，但並沒有發現錯誤。最終，霍金不得不接受了貝肯斯坦關於黑洞熵的想法，並給出了黑洞熵和麵積的比例係數-1/4。這個黑洞的熵的表達式被人們稱為貝肯斯坦霍金熵。量子效應被考慮進來之後，黑洞的力學四定律變成了真實的熱力學四定律。但霍金輻射的存在也表明黑洞會因為這種量子效應丟失能量，並最終變成一堆輻射物質，即黑洞完全蒸發了。可見在黑洞形成並蒸發的過程中，形成黑洞的物質的信息丟失了。這就是所謂的黑洞信息丟失疑難。

1974年，隨著霍金輻射的發現，至今黑洞物理最為輝煌的時代逐漸落下了帷幕。在這個黃金時代，群星璀璨，廣義相對論中許多重要的問題被解決，同時也提出了很多新的問題。這裡我們只列舉了與黑洞密切相關的部分。其中的很多問題仍然是當前引力理論中重要的研究方向。例如：黑洞信息丟失問題。再例如：在引入宇宙常數時，前面所述的那些定理會有什麼樣的改變?

黑洞理解的演變

至此，相信讀者已經知道什麼是黑洞，什麼是黑洞事件視界，也已經對黑洞物理有了一定的認識。但需要指出的是：黑洞事件視界依賴於時空的整體因果結構。或者換句話說，為了知道黑洞的事件視界我們需要知道時空的一些整體信息，例如時空的類光無限遠。這使得黑洞事件視界在實際應用上非常不方便，因為一般來說我們不可能知道我們的未來，不可能知道我們所處時空的整體因果結構。原則上我們無法局部地定義黑洞事件視界，更有甚者，在局部的觀測者看來黑洞事件視界會具有一些反直覺的行為。這就是事件視界的“目的論”(telelogical)特性。霍金和埃利斯很早就注意黑洞事件視界的非局部特徵，並在其著作The Large Scale Structure of Space-time一書中引入了表觀視界(apparent horizon)的概念。這個視界的定義依賴於4-維時空中2-維閉合曲面的外幾何與內稟幾何，而不是時空的整體因果結構。但霍金和埃利斯的表觀視界仍然依賴於時空的一種整體結構，即時空的分層。因此在實際應用中可操作性依然不強。20世紀90年代，人們將表觀視界的定義推廣，建立了一些準局域視界。其中頗具影響的是阿什塔卡(Ashteka)提出的孤立視界和動力學視界。

前文提到的彭羅斯的俘獲面(trapped surface)在定義這些準局域視界時起到了重要的作用。考慮時空中的一個2維的閉合曲面。現在我們考察這個曲面上向外和向內發射的光。如果時空是通常的閔氏時空，那麼向外發射的光是發散的，而向內發射的光是匯聚的(圖6)。

圖6 黑色圓圈表示2維類空曲面，實線箭頭表示向外發射的光，而虛線箭頭表示向內發射

這表明向外發射的光所成線匯的擴張標量為正，而向內發射光所成線匯的擴張標量為負。但如果曲面所處的時空彎曲的比較厲害，向外發射光所成的線匯也會變成匯聚! 即相應擴張標量變為負。這樣的曲面稱為是俘獲面。這表明曲面所在處的引力場如此之強，以至於連光都逃逸不出。向外發射光所成線匯的擴張標量為零的曲面是很特別的，稱為邊緣俘獲面(marginally trapped surface)。粗略地說，所謂的準局域視界就是這些(無窮多個)邊緣俘獲面所組合成的3維超曲面。和事件視界不同的是：這些準局域視界可以是類空的(動力學視界)，可以是類光的(孤立視界)，也可以是類時的。甚至一些準局域視界可以一部分是類空的，一部分是類光的，而另外一部分是類時的。這是因為準局域視界和時空的整體因果結構沒有必然的聯繫，故它們和黑洞事件視界的這種不一樣是一件很自然的事。但對於穩態黑洞這種理想情況，這些準局域視界和黑洞事件視界是重合的。俘獲面一旦形成，時空中便會出現奇點，因此這些新的視界更能反映出黑洞的強引力場性質，且更為接近我們現實世界中對黑洞的描述。另外一方面，準局域視界(如孤立視界)在圈量子引力中具有重要的地位。因此近20年來，基於準局域視界的物理也得到較大的發展，並引起了很多學者的重視。這些新的發展都是在廣義相對論的框架下進行的(當然也容易推廣到其他的相對論性引力理論)。它們極大地豐富了廣義相對論中黑洞物理的內涵，並加深了人們對於黑洞的認識。

從暗星到黑洞事件視界，再到所謂的準局域視界，我們可以看出：米歇爾和拉普拉斯的光是否能逃逸出這種樸素的想法是黑洞這個概念產生的根源。相對論性時空中的黑洞事件視界，準局域視界都是這一想法的具體實現中出現的重要物理對象。簡而言之：“所謂的黑洞就是相對論性時空中連光都逃逸不出的區域。”這就是“經典理論中黑洞的本質”。

黑洞的量子本質

但問題並非這麼簡單。這是因為黑洞不可避免地會產生一些量子效應。例如前面提到的霍金輻射和貝肯斯坦霍金熵都只有在引入量子理論後才可獲得解釋。因此可以說沒有量子理論就沒有黑洞熱力學。半經典的彎曲時空量子場論可以解釋霍金輻射、霍金溫度、昂魯溫度等，但給不出令人信服的貝肯斯坦霍金熵的量子統計起源。為了真正解釋黑洞熵，還需要一個量子引力。因此在談及黑洞本質時，量子引力是繞不過去的話題。可是，至今為止，還沒有一個公認的量子引力理論。這裡我們只准備告訴讀者：在幾種可能的量子引力候選理論中黑洞是什麼，貝肯斯坦霍金熵是怎樣得到了統計解釋。

若直接將引力場量子化，無論是協變量子化(以某個最大對稱空間作為背景，如閔氏時空。理論存在該最大對稱空間的最大對稱性，如閔氏時空的龐伽勒不變性，故稱為協變)還是正則量子化(需要對時空進行1+3分解)都會遇到很大的困難。協變量子化過程中遇到的最嚴重的問題是理論不可重整化，而正則量子化面臨的問題是最後的波動方程是一個數學上沒有嚴格定義，幾乎無法求解，且具有無限多個自由度的泛函微分方程(WheelerDeWitt方程)。協變量子化最終放棄了點粒子模型，發展成為弦理論。而沿著正則量子化這條路，人們發現了圈量子引力。

弦理論中的黑洞

弦理論是一個天然的量子引力理論，因為引力子自然地出現在閉弦(拓撲上是個圓環)的無質量振動模式中。當然，弦理論不僅僅是量子引力，還能描述自然界中其他的3種相互作用。除了無質量振動模式，弦還擁有無窮多的有質量震動模式。在協變量子化的框架中，從微擾的角度來看，時空是引力子的相干態。因此在弦理論中，彎曲時空可以看成是閉弦的“相干態”。弦理論中除了1維的基本弦，還包含了很多非微擾對象，也就是所謂的膜(brane)，如各種空間維數的D膜。這些膜是一些反對稱張量場的源，並帶有相應的荷。弦理論中牛頓常數不是一個基本量，它由弦的張力所給出的長度標度和絃與弦之間的耦合強度來決定。D膜的質量反比於弦的耦合常數，但其生成的引力場正比於弦的耦合常數。1993年薩斯坎德(Susskind)基於微擾弦提出一個假設：弦的激發態與黑洞存在一個11對應關係(質量很大的激發態塌縮成黑洞)。但這種假設很快被證明有問題——因為黑洞的熵和質量的平方成正比，而弦的熵與質量成正比。1997年泡爾欽斯基(Polchinski)和霍洛維茨(Horowitz)改進了這一想法，並論證弦的確具有足夠的自由度來形成黑洞。但這一圖像並不能給出準確的黑洞微觀自由度數目，無法實現黑洞熵的量子統計解釋。從非微擾的角度來看，這個目標是可以實現的。弦論中的黑洞可以看成是一些膜的構型。而由一些D膜形成的構型可以看成是沒有霍金溫度的極端黑洞(粗略地說，質量M和荷Q相等)。當然因為黑洞的引力場是較強的，弦處於強耦合區。假定這些D膜保持了理論的一部分超對稱(超弦理論)，並想象弦的耦合強度被逐漸調弱到可以忽略不計，這樣D膜的引力效應隨之可以忽略。在這種弱耦合極限下，系統變成閔氏時空上的一個D膜束縛態，也可以看成是弦理論的一個荷為Q的BPS態(圖7)。

圖7 弦理論中的黑洞示意圖，D1和D5系統和5維黑洞

因為在弱耦合極限下，荷為Q的BPS態的數目是可以計算的。又由於部分超對稱的存在，這個數目不依賴於弦的耦合常數。這樣，人們便可以計算出荷為Q的極端黑洞所擁有的微觀自由度數目，從而計算出黑洞的統計熵。當Q很大時，這個統計熵恰好是貝肯斯坦霍金熵! 這就是斯特羅明格(Strominger)和瓦法(Vafa) 1996年完成的工作。之後，人們也發現了近極端黑洞和中性轉動黑洞熵的統計起源。但需要指出的是：弦理論中的這種黑洞和現實的黑洞還是有很大的距離。例如：現實的黑洞荷可以忽略不計。弦論學者們仍在努力尋找施瓦西黑洞熵的統計起源。

圈量子引力中的黑洞

圈量子引力是一種比較單純的量子引力理論。它並沒有試圖統一自然界的四種相互作用。廣義相對論相空間上的約束是比較複雜的，這使得傳統正則量子化後的約束方程幾乎無法求解(Wheeler-DeWitt方程)。但基於1986年阿什塔卡提出的“阿什塔卡新變量”，人們可以將廣義相對論相空間上的正則變量寫成類似於SU(2)規範理論的形式，從而得到一個關於聯絡的動力學而不是關於度規的動力學。這樣規範場量子化的方法便可以用來研究引力場量子化的問題。需要注意的是：這裡的正則變量(如正則動量)繼承了廣義相對論中度規的特徵——既有動力學場的角色又有背景場的角色。這和通常閔氏時空上的規範理論中規範場是動力學場而度規是背景場的情況很不一樣。另外，正則變量的構造並不唯一。事實上，人們可以構造出一族這樣的正則變量。這一族正則變量由一個正的參數(稱為Barbero-Immirzi參數)來描述。

在經典理論中，這種不確定性沒有任何影響。但在量子層面上，不同的Barbero-Immirzi參數對應的量子理論是不同的。數學上嚴格的場的量子化需將場做一個空間上的抹平(空間上的積分，依賴於度規體元)來構造量子化所需的基本變量(以避免一點處的紫外問題)。一個量子引力理論中的基本變量的構造方式不應該是一種依賴於度規的抹平方式，因為度規本身就是要進行量子化的對象。如何構造出這種不依賴於度規的基本變量呢？聯絡是1形式，因此考慮它沿著某條曲線的積分便是一種不依賴於度規的抹平方式，這對應於規範場中的威爾遜圈(或和樂，圈引力中圈的由來)。而正則動量可以看成是一個2形式，因此它在某個2-維曲面上的積分給出的通量也是一個不依賴於度規的抹平。這樣威爾遜圈(和樂)和通量便成為圈量子引力中的基本變量(對應於量子力學中的座標x和動量p)。將它們量子化後便得到和樂算子和通量算子。藉此，在20世紀90年代中後期阿什塔卡等建立了嚴格的量子幾何理論。量子幾何中的幾何算子可以由通量算子構造出來，例如某個2-維曲面的面積算子和某個3維區域的體積算子。對於具有孤立視界的時空(黑洞)，孤立視界提供了時空的一個“內邊界”。阿什塔卡等人研究了這樣時空的量子幾何，找到了希爾伯特空間中滿足視界邊條件的子空間(可稱為黑洞的希爾伯特空間)，並得到了該子空間的維數。這個維數對應於黑洞的微觀自由度數，且可得黑洞熵的領頭項正比於孤立視界(截面)的面積。但比例係數中有一個不確定的因子，即Barbero-Immirzi因子。只有當這個因子取特定值的時候才能夠回到貝肯斯坦霍金熵的形式。在圈量子引力中，黑洞量子視界的圖像是比較直觀的。視界外部的和樂可看成是一些類似於polymer的物體，它們在與視界相交處刺穿了視界。因此黑洞的量子視界不再是光滑的曲面，見圖8。

圖8 圈量子引力中，黑洞的量子視界不再是光滑曲面。

全息圖像下的黑洞

受黑洞貝肯斯坦-霍金熵的啟發，在1994年，胡夫特和薩斯坎德提出了引力具有全息性質的概念：一個引力系統的獨立自由度由它的邊界面積來測度。1997年底，馬爾德西納(Maldacena)在弦理論中精確地實現了這一思想：

AdS₅

圖9 全息圖像下的黑洞。

圖片來源於www.nature.com

在經典理論中，黑洞的本質是明確的：相對論性時空中連光都逃逸不出的區域。在量子引力理論中，黑洞是某種量子態。但在不同的量子引力理論中，黑洞的圖像是非常不一樣的。到底哪一種量子理論真實地描述了黑洞？對於這一問題，我們還知之甚少。但無論如何，在量子層面上，黑洞肯定不是簡單的由質量、角動量和電荷這三根毛來標識。它應該具有更多的量子毛。事實上，最近霍金、派瑞(Perry)和斯特羅明戈提出了黑洞具有軟毛的想法，用以解釋黑洞的信息丟失問題，並引起了人們的關注。不可否認，關於黑洞的量子本質的研究是現在理論物理學界重要的研究方向，也是現有或將會出現的量子引力理論無法迴避的研究課題。人們相信對黑洞物理理解的不斷加深一定會對相對論天體物理，量子引力，信息理論帶來革命性的發展。

本文摘編自中國科學院理論物理研究所編《從夸克到宇宙：理論物理的世界》之《黑洞的本質》（蔡榮根 曹利明）。

從夸克到宇宙：理論物理的世界

中國科學院理論物理研究所編

北京：科學出版社，2018.05

ISBN 9787030572387

理論物理學是研究物質、能量、時間和空間以及它們的相互作用和運動規律的科學，它揭示的是自然界中所有物理現象的本質。理論物理的研究對象小到物質的基本組分夸克，大到整個宇宙，研究對象極其豐富。理論物理學經過20世紀的蓬勃發展後，現在仍有大量的重要問題亟待回答，如暗物質的性質、暗能量的本質、粒子物理標準模型的完備性以及是否存在超越標準模型的新物理、愛因斯坦的廣義相對論是否是引力理論的終極理論、大統一理論是否存在、宇宙的起源、量子力學的詮釋、黑洞的本質以及引力的量子化和時空的起源等。另外，理論物理在其他學科領域具有廣闊的應用，如生物體系、社會複雜系統、能源問題等。《從夸克到宇宙：理論物理的世界》收集了中國科學院理論物理研究所科研人員近年來撰寫或者翻譯的，涉及上述課題的一些優秀科普文章。

目 錄

黑洞的本質 蔡榮根 曹利明

來自宇宙的微弱聲音——2017年度諾貝爾物理學獎成果簡析 郭宗寬 黃慶國

談談統計物理學的對象和方法 郝柏林

物理學和生物學 郝柏林

世界是必然的還是偶然的——混沌現象的啟示 郝柏林

弦論編織的多重宇宙 拉斐爾·布索(RaphaelBousso)，約瑟夫·波爾金斯基(JosephPolchinski) 何頌 譯

向前輩學者和各位學者學習科學研究方法 何祚麻

宇宙如何起源？ 黃慶國 樸雲松

理性的勝利——從上帝粒子到引力波 李淼

從液晶顯示到液晶生物膜理論：軟凝聚態物理在交叉學科發展中的創新機遇 歐陽鍾燦

DNA單分子彈性理論 歐陽鍾燦

物理：從IT到ET 歐陽鍾燦 周善貴

量子力學詮釋問題 孫昌璞

量子糾纏創造了蟲洞？ 胡安·馬爾達西納(JuanMaldacena) 王少江 譯 蔡榮根 校

探索自然、揭示奧秘——極小夸克與極大宇宙的內在聯繫 吳嶽良

愛因斯坦的未竟之夢：物理規律的大統一 楊金民 王飛

希格斯粒子之理論淺析 楊金民

相變和臨界現象 於淥 郝柏林

暴漲宇宙學的研究與進展 樸雲松 張元仲

超級“Z-玻色子工廠”——高能物理實驗研究的特種正負電子對撞機張肇西

超重元素和超重穩定島 趙恩廣

原子核的電荷與質量極限探索 周善貴

如何讓愛因斯坦走進大眾（代後記） 方曉 莊辭 王延頸

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