任取一個正整數，如果這個數是偶數，則除以二。如果是奇數，乘以3再加1。重複上述步驟，最後起始數都會變成1。這就是著名的科拉茨猜想。
數學家們把科拉茨猜想看作是一個泥潭，並警告彼此遠離它，因為數學家也對這個猜想產生了畏懼，並認為很難解決它。然而陶特倫斯在科拉茨猜想上取得了重要突破。
經驗豐富的數學家警告後起之秀遠離科拉茨猜想。他們說，這是一首誘惑人的歌，如果你沉迷其中，你可能永遠都不會再做有意義的工作。但是後起之秀富有十分大的野心和自信，很多年輕的數學家也有冒險在科拉茨猜想上下功夫，即便啥都沒研究出來，他們也不會覺得有遺憾。
為什麼科拉茨猜想那麼誘人？正是因為它的問題很簡單，但是證明卻十分艱難。數學上有很多猜想，問題都十分簡單，但是證明卻無從下手。反而那些複雜的問題證明起來卻得心應手。正如哥德巴赫猜想，小學生也能看懂這個問題，但是無人能夠解答。貌似世界的本質就是簡單性，而複雜性全是表面上的幻覺。
不過，科拉茨猜想的解決已經得到了重大突破。
2019年9月8日，陶特倫斯發佈了一個證明，證明至少科拉茨猜想對幾乎所有數字都“幾乎”正確。雖然陶的研究結果並不能完全證明這個猜想，但它是在一個不易洩露秘密的問題上取得的重大進展。
陶特倫斯並沒有期望完全解決這個問題，但他所做的超出了他自己的預期。
科拉茨猜想
洛塔爾·科拉茨在20世紀30年代提出科拉茨猜想，這個問題聽起來像個惡作劇。直覺告訴我們，開始的數字會影響到最後的數字。也許有些數字最終會螺旋下降到1，也許其它數字會走向無限。
但科拉茨預測的情況並非如此。如果你從一個正整數開始，並運行這個過程足夠長，所有的初始值將導向1。一旦你到達1，科拉茨猜想的規則就會把你限制在一個循環中:1、4、2、1、4、2、1，一直循環下去。
多年來，許多人都被科拉茨猜想(即“3x + 1問題”)的簡單性所吸引。數學家們已經測試了無數的例子，卻沒有發現科拉茨的預測有任何例外。你甚至可以用網上的“科拉茨計算器”自己試幾個例子。互聯網上充斥著毫無根據的證明，聲稱已經以某種方式解決了這個問題，但是那些證明全都是不靠譜的。
在20世紀70年代，數學家們發現幾乎所有的科拉茨序列，當你重複這個過程時得到的一串數字，最終會得到一個比開始時更小的數字，這是很弱的證據，儘管如此，幾乎所有的科拉茨序列都趨向於1。從1994年到陶特倫斯的研究結果，研究結果都同樣指出了這個問題，但卻沒有解決核心問題。
很多數學家認為這些努力都是徒勞的，這使得許多數學家得出結論：這個科拉茨猜想超出了目前的理解範圍，他們最好把研究時間花在別的地方。
一個意想不到的技巧
40年前，陶特倫斯還是學生的時候就對這個猜想產生了興趣。幾十年來，他一直是科拉茨所有藏品的非官方策展人。他收集了大量與這個問題相關的論文，並在2010年以《終極挑戰:3x + 1問題》一書的形式發表了其中一些論文。
“現在我對這個問題有了更多的瞭解，我想說這仍然是不可能的。“陶特倫斯說。
陶特倫斯通常不會把時間花在不可能的問題上。2006年，他獲得了數學領域的最高榮譽，菲爾茲獎。他被廣泛認為是他那一代最優秀的數學家之一。陶特倫斯習慣於解決問題，而不是做白日夢。
“如果你是數學家，這實際上是一種職業危害。”他說。“你可能會沉迷於這些任何人都無法觸及的著名問題，你會浪費很多時間。”
但是陶特倫斯並沒有完全抵制他的領域的巨大誘惑。每年，他都要花一兩天時間，在一個著名的數學難題上碰碰運氣。多年來，他曾嘗試解決科拉茨猜想，但都無果而終。
一位匿名讀者在陶特倫斯的的博客上留言。評論者建議嘗試解決“幾乎所有”數字的科拉茲猜想，而不是試圖完全解決它。這給了陶特倫斯啟發。既然完全解決科拉茨猜想難以實現，那麼我們可以嘗試解決它的弱化版猜想。
“我沒有回覆，但這確實讓我重新思考了這個問題。”陶特倫斯說。陶特倫斯確實在弱化版的科拉茨猜想上下了一番功夫。
陶特倫斯意識到，科拉茨猜想在某種程度上與偏微分方程相似，偏微分方程是他職業生涯中最重要的成果之一。
偏微分方程和科拉茨猜想的相似性
偏微分方程可以用來模擬宇宙中許多最基本的物理過程，比如流體的演化或重力在時空中的波動。它們出現在這樣一種情況下，即一個系統的未來位置。比如在你把一塊石頭扔進去五秒鐘後，池塘的狀態取決於兩個或兩個以上因素的影響，比如水的粘度和流速。
複雜的偏微分方程似乎與一個簡單的算術問題沒有多大關係，比如科拉茨猜想。
但是陶特倫斯意識到它們之間有相似之處。使用偏微分方程，你可以插入一些值，取出其它值，然後重複這個過程。所有這些都是為了瞭解系統的未來狀態。對於任何給定的偏微分方程，數學家都想知道是否某些初始值最終會導致輸出為無限值，或者一個方程是否總是產生有限值，而不管初始值是什麼。這種狀態和科拉茨猜想完全一致。
對於陶特倫斯來說，這個目標與研究是否總是最終從科拉茨過程中得到相同的數字具有相同的意義，無論你輸入的是什麼數字。因此，他認識到研究偏微分方程的技術可以應用於科拉茨猜想。
在柯拉茨猜想的背景下，想象一下從一個大的數字樣本開始。你的目標是在應用科拉茨猜想過程時研究這些數字的行為。如果樣本中接近100%的數字恰好是1或非常接近1，那麼你可能會得出結論，幾乎所有數字的行為都是相同的。
但是為了使結論有效，你必須非常仔細地構建你的樣本。這一挑戰類似於在總統選舉中抽取選民意調查樣本，要準確地從民意調查中推斷出全體人口的情況。
數字有自己的“人口統計學”特徵。當然，也有奇數和偶數，也有3的倍數，甚至還有更微妙的其它類型的數字。當你構建一個數字樣本時，你可以對它進行加權，使其包含特定類型的數字，而不是其他類型的數字。你選擇的權重越好，你就能越準確地得出關於數字整體的結論。
數字樣本的選擇
陶特倫斯的挑戰遠比找出如何用合適的權重創建一個初始數字樣本要困難得多。在科拉茨過程的每一步中，處理的數字都在變化。一個明顯的變化是，樣本中幾乎所有的數字都變小了。
另一個可能不是那麼明顯的變化是，這些數字可能會開始聚集在一起。例如，你可以從一個均勻分佈開始，比如從1到100萬的數字。但是經過五次科拉茨迭代之後，這些數字可能集中在數軸上的幾個小區間內。換句話說，你可能一開始有一個很好的樣本，但是五步之後，它就完全扭曲了。通常情況下，人們會認為迭代後的數字集合與最初的數字集合完全不同。
而陶特倫斯的關鍵洞見是找出如何在整個科拉茨過程中選擇一個很大程度上保持原有權重的數字樣本。
例如，陶特倫斯的初始樣本加權後不包含3的倍數，因為科拉茨過程很快就排除了3的倍數。陶特倫斯提出的其它一些權重更復雜。他把初始樣本的權值放在餘數為1 / 3的數字上，而不是餘數為2 / 3的數字上。
結果是，即使在科拉茨過程繼續進行時，陶特倫斯選的數字樣本仍然保持其特性。
陶特倫斯使用這種加權技術來證明幾乎所有的科拉茨初始值最終都接近1。這使他能夠得出99%大於1千萬億的初始值最終小於200的結論。
這可能是科拉茨猜想歷史上最強的結果。距離完全解決科拉茨猜想可能只差一步，但是這一步就能讓眾多數學家神魂顛倒。
只差一點點的魅力
陶特倫斯的方法肯定不是完全證明科拉茨猜想。原因是他的初始樣本在過程的每一步之後仍然有一點傾斜。只要樣本中仍然包含許多與1相距甚遠的不同值，則偏差最小。但隨著科拉茨過程的繼續,數字樣本的數字越接近1,小扭曲效應越來越明顯,同樣的道理，在一個樣本中出現一個輕微的誤判調查並沒關係，但當樣本容量足夠大時輕微的誤差就會產生巨大的影響。所以陶特倫斯解決了99%的問題，但是剩下那1%就像更高的一座大山等待人們的攀越。
要證明這個猜想的全面性，很可能需要另一種方法。因此，陶特倫斯的作品既是一種勝利，也是一種遺憾，當你覺得你快要把一個問題解決的時候，這個問題就輕而易舉的溜走了，遠遠的讓你遙不可及。就如抓到手的兔子逃脫了一樣。
你可以儘可能接近科拉茨猜想，但它仍然是遙不可及的。但是數學正是因為簡單性才吸引了眾多愛好者。
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