06.06 基本圖形分析法：幫你分析角平分線和垂線的組合圖形（二）

【分析方法導引】

當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。

若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。

若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

例3 如圖3-119，已知：BD、CE是△ABC的∠B、∠C的外角平分線，AF⊥BD、AG⊥CE，F、G是垂足。求證：（1）FG∥BC （2）FG=1/2△ABC的周長。

圖3-119

分析：本題的條件中出現了BD、CE是∠B、∠C的外角平分線和AF、AG是向角平分線所作的垂線，就構成了角平分線和向角平分線所作的垂線之間的組合關係，所以一定出現一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，而現在圖形中的這兩條垂線都還沒有和角的第二條邊相交，所以應將它們延長到相交，即延長AF交CB的延長線於K，可得△ABF≌△KBF，BA=BK和FA=FK。根據同樣的道理延長AG交BC的延長線於H，可得△ACG≌△HCG，CA=CH和GA=GH（如圖3-120）。這樣又出現了F、G分別是AK、AH的中點，是多箇中點問題，所以可應用三角形的中位線的基本圖形的性質進行證明。於是即可推得FG∥BC，FG=1/2KH=1/2（KB+BC+CH）=1/2（AB+BC+AC），分析即可完成。

圖3-120

例4 如圖3-121，已知：△ABC中，BE、BF分別是∠B和∠B的外角的角平分線，AG⊥BF，AH⊥BE，垂足分別是G、H，過G、H的直線分別交AB、AC於M、N。求證：（1）四邊形AGBH是矩形 （2）MN=1/2BC

圖3-121

分析：本題條件中出現了BE、BF分別是∠B和∠B的外角的角平分線，所以必定有BE⊥BF，∠EBF=90°，又因為條件給出了AG⊥BG、AH⊥BH，∠AGB=∠AHB=90°，這樣在四邊形AGBH中就出現了三個內角都是直角，所以這個四邊形必定是矩形，且可進一步得到AM=BM或M是AB的中點。

又因為BE是角平分線，且AH⊥BE是向角平分線所作的垂線，所以就構成了角平分線和向角平分線所作垂線的組合關係，這樣也就一定能得到一個等腰三角形的基本圖形，由於這個等腰三角形應是角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，所以應將AH延長到與角的另一邊BC相交，於是延長AH交BC於K，即可得△ABH≌△KBH，AH=KH，H是AK的中點，這樣又出現了兩個中點，是多箇中點問題，且M、H所在的線段AB、AK有公共端點A，可以組成三角形，所以應用三角形中位線定理就可得MH∥BK，亦即MN∥BC，從而就可進一步推得AN=CN，MN=1/2BC（如圖3-122）。

圖3-122

本題在證明了四邊形AGBH是矩形以後，也可以連續兩次考慮角平分線和向角平分線所作的垂線之間的組合關係以及由此而得到的等腰三角形，從而就應延長AG、AH分別交CB的延長線和BC於L、K（如圖3-122），並得到AG=LG，AH=KH，那麼接下來再應用三角形的中位線定理及其逆定理，也就可以證得MN=1/2BC。

本題在證明了四邊形AGBH是矩形以後，應用矩形的性質即可得M是AB的中點，這樣要證明MN=1/2BC，就可以轉化成要證MN∥BC，而已知BE是∠ABC的角平分線，從而就出現了一次角平分線和平行線的組合關係，也就必定得到一個等腰三角形的基本圖形，由於MN是角的一邊BC的平行線，所以它應和角的另一邊BA以及角平分線BE相交構成等腰三角形，從而就可找到這個三角形應是△MBH（如圖3-123），顯然應用矩形的性質即可得到MB=MH，∠MBH=∠MHB，而已知∠MBH=∠HBC，所以∠MHB=∠HBC和MN∥BC都可以證明，分析也就可以完成。

圖3-123