吹泡泡
極小曲面的概念來自我們都熟悉的事物。
吹肥皂泡時，首先要將圓形塑料框浸入肥皂水中。然後，在你實際吹泡泡之前，在塑料環中形成的薄膜就具有最簡單的形狀：它是完全平坦的，沒有任何顛簸或凸起。這種平坦的形狀使表面張力最小化（自然喜歡節儉），並且還使面積最小化。如果肥皂膜有凸起和顛簸，則其表面積將更大。在數學中，極小曲面是指平均曲率為零的曲面。舉例來說，滿足某些約束條件的面積最小的曲面。 肥皂泡的極薄的表面薄膜稱為皂液膜（準確地說是膜的數學理想化）是面積最小化表面的實例。框架的形狀（圓形，三角形或更扭曲的形狀）決定了最終面積最小化表面的形狀，這是滿足周邊空氣條件和肥皂泡吹制器形狀的表面積最小的表面。
尋找極小曲面
但是，除了平面之外，還有哪些其他極小曲面？這是一個有趣的問題。在18世紀末，即使在諸如萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）之類的數學家將注意力轉移到該主題上之後，也只知道了另外兩個極小曲面：
一個是懸鏈面(catenoid)，這是一種特殊的曲面，是微分幾何中很重要的一種曲面，它是旋轉極小曲面。
該肥皂膜代表一塊鏈狀體。實際的懸鏈面沒有邊界，並且無限地向頂部和底部延伸。
另一個是螺旋麵（helicoid），它看起來有點像是一個無限的螺旋形樓梯，帶有一個更像斜坡而不是臺階的螺旋。在19和20世紀，極小曲面理論研究興起，而緊隨其後的“黃金時代”帶來的是停滯。今天，要找到更多並正確理解它們的理論還遠遠不夠。
該肥皂膜代表一片螺旋狀。實際的螺旋麵是無界的，並且可以無限地在所有方向上延伸。
然而，儘管進展緩慢，對極小曲面的探索開闢了肥沃的數學土壤。
貝克-卡恩（Becker-Kahn）說:“通常不向學術數學之外的人傳達的一件事是，提出任何人類數學家都無法解決的問題是多麼容易。”“更罕見的情況是有足夠多的問題，而這些問題都恰到好處。這是一個領域開始獲得蒸汽，這似乎發生在最小的表面。當人們第一次創造這個詞的時候，他們問了一些非常天真的問題，結果發現這些問題比他們原來知道的數學主題要深刻得多。”
極小曲面
經過250多年的歷史，極小曲面仍為數學研究提供了豐碩的基礎。今年早些時候，數學家凱倫·烏倫貝克（Karen Uhlenbeck）因其在極小曲面理論上取得了重大進步的工作而被授予阿貝爾獎，這是數學領域的最高榮譽之一。
追求極小
烏倫貝克（Uhlenbeck）於1966年取得變化學博士學位，並在1970年代遇到她的合作者喬納森·薩克斯（Jonathan Sacks）後她將注意力轉移到極小曲面。烏倫貝克在2018年接受艾倫·傑克遜（Allyn Jackson）採訪時說：“我對極小曲面的瞭解不多，但我們討論了它們並共同為之努力。'' “他帶來了關於極小曲面主題的知識，而我帶來了主要思想。”
定義極小曲面（比面積更容易處理）的一種方法是所謂的能量。正如兩點之間的路徑長度可以用微積分描述一樣，表面的能量也可以。任務是找到一個使自身形成能將能量最小化的形狀。但這一理論總是會因為出現那些能無限集中能量的點而遭到破壞。烏倫貝克的洞見是，將這些點進行“
放大”，她發現，實際上發生的是從曲面上會分離出一個新的泡泡。當要處理的只有路徑時，問題相對簡單。因為不同的路徑會匯聚，彼此越來越近，直到最終收斂到極限路徑上。
聚合在一條紅色路徑的藍色路徑的例證。您可以想象，越來越多的藍色路徑越來越接近紅色路徑。
能量的概念與這種收斂緊密地聯繫在一起：如果在從A到B的平滑路徑集合中，每條路徑的能量都小於某個邊界，那麼你就可以確定在這個集合中包含一系列路徑，它們會收斂到A、B兩點之間的一條連續的極限路徑。 由於首要問題是從連接A、B兩點的無限多條路徑中找到最短路徑，所以這種緊性（因為存在極限所以稱為緊性）結果很重要。
但是，當涉及到表面時，能量還不足以提供類似的結果。問題在於你可以使用多種方法來描述曲面。舉個簡單的例子，想象一下一個看起來像變形球體的表面。例如馬鈴薯或漏氣的足球。要繞過這種不穩定的表面，可以從圓形球體上構建一個映射：圓形球體上的每個點都與變形球體上的點相關聯。這正是我們用一個球形地球儀上的地圖來表示並非完美球形的地球時所做的事。但是關於球面上的哪一個點與曲面上的哪一個點對應可以有許多不同的選擇，所以映射也有許多種不同的選擇。
如果馬鈴薯上的每個點x都與球體上的某個點相關聯，則球面就可以作為馬鈴薯表面的一個映射。但是，如何關聯點有很多不同的選擇，因此有很多不同的映射。
不止於肥皂泡
極小曲面的數學研究具有深遠的意義，烏倫貝克與薩克斯在這方面的貢獻為後來許多的重大進展奠定了基礎。
唐納森（ Donaldson）說：“他們在最小的表面上的工作已成為四十年來巨大的進一步發展的基礎。”
令人驚訝的是，這樣的發展涉及的物理領域已經超出了肥皂膜的範圍：試圖為所有事物創建一種理論，該理論不僅描述了我們可以看到的現象，而且還以我們從未經歷過的非常小和非常大的規模來解釋世界。
凱倫·烏倫貝克（Karen Uhlenbeck）是第一位獲得阿貝爾獎的女性。
正如烏倫貝克（Uhlenbeck）指出的那樣：“沒有人從小就玩量子效應的”，所以這裡涉及的概念並不像肥皂那樣直觀。但是極小曲面的理論與所謂的規範理論所描述的量子物理學之間，存在數學上的相似之處。正如烏倫貝克（ Uhlenbeck ）所說：“這是一個強有力的數學事實，直覺和技術可以在（極小曲面理論和規範理論）之間來回傳遞。”
極小曲面
烏倫貝克在接受傑克遜（Jackson）採訪時說：“我對數學中涉及到許多不同方面並看到它們之間的聯繫的觀點確實很著迷 。” “我將對學習更多的知識感興趣，這些知識不只是核心數學，而是與其他領域相關的數學。”
烏倫貝克深信，數學中有很多不同的方面，她非常希望能看到這些不同方面之間的聯繫。
極小曲面在建築上的運用
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