C語言實現求平方根算法

C語言中要求平方根,可以在頭文件中加入#include <math.h>.然後調用sqrt(n);函數即可。但在單片機中調用此函數無疑會耗費大量資源和時間，是極不合適的。在此，總結下網上常見的四種單片機常用開方根算法：/<math.h>

對於擁有專門的乘除法指令的單片機，可採用以下兩種方法：

1、二分法

對於一個非負數n，它的平方根不會小於大於（n/2+1）（謝謝@linzhi-cs提醒）。在[0, n/2+1]這個範圍內可以進行二分搜索，求出n的平方根。

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 1 int sqrt(int x) {
 2 long long i = 0;
 3 long long j = x / 2 + 1;
 4 while (i <= j)
 5 {
 6 long long mid = (i + j) / 2;
 7 long long sq = mid * mid;
 8 if (sq == x) return mid;
 9 else if (sq < x) i = mid + 1;
10 else j = mid - 1;
11 }
12 return j;
13 }

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2、更為常用的牛頓迭代法

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1 int sqrt(int x) {
 2 if (x == 0) return 0;
 3 double last = 0;
 4 double res = 1;
 5 while (res != last)
 6 {
 7 last = res;
 8 res = (res + x / res) / 2;
 9 }
10 return int(res); 

11 }

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牛頓迭代法也可以求解多次方程。

對於不帶乘除法指令的單片機，可採取以下兩種算法：

算法3:

本算法只採用移位、加減法、判斷和循環實現，因為它不需要浮點運算，也不需要乘除運算，因此可以很方便地運用到各種芯片上去。

我們先來看看10進制下是如何手工計算開方的：

先看下面兩個算式：

x = 10*p + q (1)

公式(1)左右平方之後得：

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)

現在假設我們知道x^2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x^2的開方x了。

我們把公式(2)改寫為如下格式：

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

這個算式左右都有q，因此無法直接計算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。

我們來一個手工計算的例子：計算1234567890的開方

首先我們把這個數兩位兩位一組分開，計算出最高位為3。也就是(3)中的p，最下面一行的334為餘數，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

3 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- | 3 34

下面我們要找到一個0-9的數q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：

3 q --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 6q| 3 34

我們看到q為5時(60+q*q)的值最接近334，而且不超過334。於是我們得到：

3 5 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 65| 3 34 | 3 25 --------------- 9 56

接下來就是重複上面的步驟了，這裡就不再囉嗦了。

這個手工算法其實和10進制關係不大，因此我們可以很容易的把它改為二進制，改為二進制之後，公式(3)就變成了：

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我們來看一個例子，計算100(二進制1100100)的開方：

1 0 1 0 --------------- | 1 10 01 00 1 --------------- 100| 0 10 | 0 00 --------------- | 10 011001| 10 01 --------------- 0 00

這裡每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由於q的值只能為0或者1，所以我們只需要判斷餘數(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小關係，如果餘數大於等於(4*p+q)那麼該上一個1，否則該上一個0。

下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計算之後的餘數，divisor表示(4*p+1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2將計算後的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當於4*p。程序完全是按照手工計算改寫的，應該不難理解。

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unsigned short sqrt(unsigned long a){ 
 unsigned long rem = 0; 
 unsigned long root = 0; 
 unsigned long divisor = 0; 
 for(int i=0; i<16; i++){ 
 root <<= 1; 
 rem = ((rem << 2) + (a >> 30)); 
 a <<= 2; 
 divisor = (root<<1) + 1; 
 if(divisor <= rem){ 
 rem -= divisor; 
 root++; 
 } 
 } 
 return (unsigned short)(root); 
} 

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這種方法比牛頓迭代法更加快速的方法。

1.原理

下述用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個序列，

其中[x]為下標。

假設：

B[x],b[x]都是二進制序列,取值0或1。

1、 M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow

(2,0)

2、 N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow

(2,0)

3、 pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。

設 m 已知,因為 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=

pow(2, m/2)

如果 m 是奇數，設m=2*k+1,

那麼 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),

n-1=k, n=k+1=(m+1)/2

如果 m 是偶數，設m=2k,

那麼 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),

n-1=k-1,n=k=m/2

所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。

餘數 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以採用試探法來確定。

因為b[n-1]=1，假設b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),

2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),

然後比較餘數M[1]是否大於等於 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種

比較只須根據B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其餘低位不做比較。

若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設有效，b[n-2] =

1；

餘數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -

(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；

若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設無效，b[n-2] =

0；餘數 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計算32位數的平方根時最多隻須比較16次，而且每次比較時不必把M的各位逐

一比較，尤其是開始時比較的位數很少，所以消耗的時間遠低於牛頓迭代法。

2. 實現代碼

這裡給出實現32位無符號整數開方得到16位無符號整數的C語言代碼。

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/****************************************/ 
/*Function: 開根號處理 */ 
/*入口參數：被開方數，長整型 */ 
/*出口參數：開方結果，整型 */ 
/****************************************/ 
unsigned int sqrt_16(unsigned long M) 
{ 
 unsigned int N, i; 
 unsigned long tmp, ttp; // 結果、循環計數 
 if (M == 0) // 被開方數，開方結果也為0 
 return 0; 
 N = 0; 
 tmp = (M >> 30); // 獲取最高位：B[m-1] 
 M <<= 2; 
 if (tmp > 1) // 最高位為1 
 { 
 N ++; // 結果當前位為1，否則為默認的0 
 tmp -= N; 
 } 
 for (i=15; i>0; i--) // 求剩餘的15位 
 { 
 N <<= 1; // 左移一位 
 tmp <<= 2; 
 tmp += (M >> 30); // 假設 
 ttp = N; 
 ttp = (ttp<<1)+1; 
 M <<= 2; 
 if (tmp >= ttp) // 假設成立 
 { 
 tmp -= ttp;  

 N ++; 
 } 
 } 
 return N; 
} 

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以上算法結尾網上收集所得，雖然原理可能比較難懂，但都可在單片機中實際運用。