人生中最重要的問題，在絕大多數情況下，真的就只是概率問題。
--- 皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（1749-1827）
先講一個真實的故事。
我的一個夫妻朋友有了二胎，由於太太年齡較大，所以醫生警告說，你們的孩子有可能會得唐氏綜合症。朋友很緊張，那怎麼辦？醫生說，可以做羊水穿刺，以確診是不是真的得了。
朋友很開心。不過呢，醫生又說，羊水穿刺也有可能會失敗，那樣你們的孩子就沒了。這下朋友糾結了，一邊是唐氏綜合症，一邊是孩子沒了，這可怎麼做決定？
醫生後來又說，高齡產婦得唐氏綜合症的概率大約是2%，羊水穿刺檢測失敗的概率大約是1%。這下簡單了，堅決不做啊。
所以，我們發現，一旦知道了某件事情發生的準確概率，我們的決定就瞬間簡單了起來。但問題是，我們怎麼能知道這些概率呢？
很多人覺得所謂的概率，都是計算出來的。一枚硬幣，正反面各50%，一個袋子裡100個球，30個黑球，70個紅球 ，摸出一個紅球的概率是70%。
那假設一個黑盒子，你事先不知道里面多少黑球，多少紅球，怎麼辦呢？其實，現實世界裡，我們面臨的絕大多數情況都沒法計算，都是黑盒子卻需要去判斷概率的問題。
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頻率派和貝葉斯派
傳統的方法叫頻率派。關於頻率和概率的區別，很多人不熟悉。簡單的說，概率說的是事情未來發生的可能性，而頻率說的是對某事情進行觀察或者實驗，發生的次數和總次數的比值。
概率是事情本身的一個固有屬性，是一個固定值，而頻率是變化的，樣本越大，頻率越接近概率。根據大數定理，當樣本無窮大時，頻率等於概率。
你拋硬幣10次，不見得會正面反面各5次，但是你拋1萬次，那基本是正反各50%。比如那個黑盒子，你不斷的從裡面隨機的拿球出來，統計黑球和紅球的比例，次數“足夠多”時，你得到的那個頻率，就接近真實的概率。
這個方法用了上百年，現在仍然被廣泛使用，比如某某疾病的發病率，飛機和火車的出事概率等等 ，都是利用大樣本的統計，逼近真實概率。
但是，我們稍微深入的思考一下，就會發現這個方法的兩個侷限：
第一，你只有積累了一定數量的樣本，才能有一個對概率的初步判斷，你只扔5次，只取10個球，基於小樣本得出的概率很可能錯的離譜。
第二，如果這個黑盒子夠黑，你連裡面總共有多少個球都沒概念，甚至裡面的球的總數量都是變化的，這時你就沒法判斷什麼叫“足夠多”。
現實世界裡，我們碰到的大量問題，根本找不到這麼多現成的數據。還有很多新興事物，壓根沒有先例，一種新發現的疾病，一個新的產品，一種新的市場策略，那怎麼判斷概率呢？瞎蒙嗎？
也對，也不對。
這就需要貝葉斯學派了。
貝葉斯學派的觀點是，概率是個主觀值，完全就是我們自己的判斷，我可以先估計一個初始概率 ，然後每次根據出現的新情況，掌握的新信息，對這個初始概率進行修正，隨著信息的增多，我就會慢慢逼近真實的概率。
這個方法完美的解決了頻率派的兩個問題，我不用等樣本累積到一定程度，先猜一個就行動起來了，因為我有修正大法，而且我也不關心是不是“足夠多”，反正我一直在路上。
貝葉斯學派誕生兩百多年來，一直倍受爭議，甚至連co-founder拉普拉斯自己都放棄了，因為大家覺得這個摸著石頭過河的方法太扯了，太不科學了。直到最近幾十年，隨著計算機技術的進步才大放異彩，現在的人工智能、圖像識別、機器翻譯等，背後無不採用了貝葉斯方法。
那我們需要看看，貝葉斯方法究竟是怎麼摸著石頭過河的。
貝葉斯定理（Bayes' Theorem）
這一部分涉及一些數學公式和計算，但說實話 ，只需要小學算術水平就可以了。
貝葉斯定理如下：
A是你要考察的目標事件，P(A) 是這個目標事件的先驗概率，又叫初始概率，或者基礎概率。B是新出現的一個新事件。P(A|B) 的意思是當B出現時A的概率，在這裡就是我們需要的後驗概率。P(B|A) 是當A出現時B的概率。
P(B) 是B出現的概率，在這裡具體計算稍微複雜一些，指當A出現時B的概率和當A不出時（用A_來表示）時B的概率的總和，用公式表達就是 P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A_) * P(A_)。P(B|A) / P(B) 可以看作一個修正因子。
上述解釋你可以忽略，簡化的理解為：
後驗概率 = 先驗概率 x 修正因子
舉個例子。
比如你新進入一家公司，你不確定這裡MBA學歷對員工升遷的作用，而這個對你的個人發展很重要，因為你要決定接下來是不是去讀一個MBA學位。由於新來，壓根沒有樣本，這時候你可以採用貝葉斯定理。
P(A) 是你根據過往經驗事先估計的，MBA對升遷有多大好處？比如你先預估一個30%。這時候，出現了一個新信息B，小王升遷了，而且小王是MBA。那麼，P(B|A) 是說當MBA管用時，小王升遷的概率，比如你現在的判斷是80%。
小王可能本身就有能力且業績突出，就算沒有MBA也可能會升遷啊，所以P(B|A_) = 50%（發現了嗎，這個公式自動的幫助我們避免走極端）。
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套入貝葉斯公式，P(A|B) = 30% * 80% / (80% * 30% + 50% * 70%) = 41%。從30%提高到了41%。那麼當小王升遷這個新情況出現以後，你對MBA作用的概率判斷從30%提高到了41%。
但是，過了段時間，你發現同樣是MBA的小李，熬了很多年也沒有升遷，最後辭職了。現在你對小李因為MBA有效而升遷的概率判斷降為20%了。套入公式，新的P(A|B) = 41% * 20% / (20%*41% + 50%*59%) = 22%。從剛才的41%跌了近一半。
這樣幾次下來，你就能對這個這家公司對MBA的看法有個相對靠譜的判斷了。
或許你會說，搞這麼複雜幹嘛，有了新情況，我原來的看法會改變，新情況和自己的預期一致就強化原來的看法，否則就弱化，這不就是常識嗎，還用得著什麼數學定理嗎？
很好，的確一針見血。（期樂會官方微信公眾平臺ID:qlhclub）拉普拉斯說過，所謂的概率就是把人們的常識用數學表達出來。也有人說，人腦就是採用貝葉斯方法來工作的。
但是我們人腦有偏差啊，有誤區啊，會犯渾啊，這個公式讓我們忽然獲得了一個上帝視角，來審視一下，我們自己究竟是怎麼做判斷，做決定的，計算機又是怎麼模仿並超越我們的，這豈不是很美妙的一件事情 。
讓我們再來看一個複雜一點的例子，這是一個經典的案例 ，網上隨處都可以找到。
艾滋病毒(HIV)檢測技術的準確度相當驚人。如果一個人真是HIV陽性，血液檢測的手段有99.9%的把握把他這個陽性給檢查出來而不漏網。如果一個人不攜帶HIV，那麼檢測手段的精度更高，達到99.99%——也就是說只有0.01%的可能性會冤枉他。
已知一般人群中HIV攜帶者的比例是0.01%。現在假設我們隨便在街頭找一個人給他做檢查，發現檢測結果是HIV陽性，那麼請問，這個人真的攜帶HIV的可能性是多大呢？
我們使用貝葉斯定理。A表示“這個人真的攜帶HIV”，B表示“檢測出HIV”，那麼根據現有條件，P(A) = 0.01%，P(B|A) = 99.9%，P(B|A-) = 0.01%，帶入公式，計算得到P(A|B) = 0.01% * 99.9% * (99.9%*0.01% + 0.01%*99.99%) = 50%！
答案或許和你的直覺不一致，即使在這麼驚人的檢測準確度之下，哪怕這個人真的被檢測到HIV陽性，他真有HIV的可能性也只有50%。
我們看到，如果是一種非常罕見的病毒，人群中只有萬分之一的人感染，在這種情況下即使你的檢測手段再高，也很有可能會冤枉人。
甚至，如誤診率不是0.01%，而是0.1%的話，也就是檢測手段再差一檔，這個結果就會瞬間從50%降到9%。但是，我們也可以反過來想 ，這麼罕見的疾病，一旦被檢測出來了，也有50%的概率真的會得，這個躍遷是從萬分之一，一下子到了50%。
而如果我們假設這個病毒的感染率不是萬分之一，而是千分之一，那麼在原來的檢測精度下，可能性就從50%升到了90%。
這其實可以解釋為什麼我們說一葉知秋，為什麼說當你家發現了一隻蟑螂，那麼你家裡一定已經有很多蟑螂了。罕見事件，可以對初始概率做出數量級的改變。同時，這也解釋了我們有時也不能反應過度，有人叛逃到國外了，我們難道需要徹底關閉海關嗎？真的需要在墨西哥修建長城嗎？
貝葉斯定理，把我們的思考的方式給撕開了，揉碎了。
貝葉斯定理給我們的啟示
塔勒布說過，數學不僅僅是計算，而是一種思考方式。
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現實世界中，我們沒法時時刻刻拿出電腦來演算一下公式，但是我們仍然可以通過這個定理得到一些寶貴的啟示：
1、先行動起來。
大膽假設，小心求證。不斷調整，快速迭代。這就是貝葉斯方法。
當信息不完備時，對概率的判斷沒有把握時，當然可以選擇以靜制動，但是不行動也是有代價的，你可能會錯過時機，你也沒有機會進步。這個時候，貝葉斯方法給我們提供了一個很好的思路，先做一個預判，動起來，利用新的信息不斷修正原來的預判。
2、聽人勸、吃飽飯，但又不能聽風就是雨。
當我們沒有把握時，我們很容易根據新信息調整看法。更大的挑戰是，我們已經形成了一個看法，甚至有了成功經驗時，當新情況出現後，我們能不能也去調整自己看法。那個黑盒子，我們摸索了一段時間，估計出了裡面紅球、黑球的概率，但是我們有沒有想過，這個黑盒子裡的球的比例會變化呢？
有了新信息，我們要對原來的看法做多大程度的修正呢？
這些，不可能有標準答案，但是明白了這個道理，有助於我們及時又謹慎的做出調整。
3、初始概率很重要。
初始概率越準確，我們就能越容易、越快速的得到真實的概率。疑鄰盜斧，以貌取人，會讓我們離真相越來越遠。而如何獲得相對靠譜的初始概率，是個硬功夫，它需要你的經驗、人脈、平時的深度思考，有時甚至和底層的價值觀、思維方式都有關。
丹尼爾.卡尼曼在他的《思考，快與慢》裡，就特地強調了初始概率對貝葉斯方法的重要性。
4、對出現的特殊情況要引起足夠的重視。
前面我們已經看到了，萬分之一概率的事情，也有可能因為特殊事件，一下子變成了50%。所以，每當出現特殊的、罕見的情況時，我們要保持高度警惕，黑盒子裡的球的比例是不是變化了？但同時我們也看到，如果檢測精度不夠高，即便出現了罕見事件，真實概率也可能不到10%。所以，具體要怎麼採取行動，還需要進一步觀察。
5、信息的收集，信息的質量，以及對信息的判斷，是提高決策水平的最重要環節。
只要有新信息，就可以修正，哪怕初始判斷錯了，新信息足夠多，也能修正過來。但是沒有信息，就沒有修正。所以，在做決定之前，儘可能多的收集信息是必須的。
但是錯誤的信息、低質量的信息，會讓你的修正偏離真相越來越遠，你能不能區分信息來源的可靠性、能不能進行交叉驗證、邏輯推理，就顯得至關重要。
要做到這些，甚至某一些，都並不容易，掌握裡面的平衡，就更加困難。
所謂高手，就是把自己活成了貝葉斯定理。
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