中科院物理所

在普通人眼中，量子物理學的世界往往深奧得不可救藥，讓非專業人士望而生畏。經典物理學向我們解釋了為什麼一個球會滾下山坡，為什麼一架飛機能飛上天空，等等；量子物理學告訴我們的則是粒子的波動性、鬼魅般的超距作用、薛定諤的貓、黑洞和時空彎曲。但無論你相信與否，即使最普通的日常活動也深受抽象而奇異的量子物理學的影響。

在這本書中，查德·奧澤爾圍繞他的一個早晨和一頓早餐，揭示了我們的日常生活中隱藏的怪誕量子物理學現象。從日出、鬧鐘、烤麵包機、食物的香味到數碼照片、計算機芯片、互聯網、量子密鑰，這些我們熟悉的事物都與量子物理學有著根深蒂固的關係。這本書在原汁原味地保留科學理念的前提下，讓相對論、量子力學等抽象概念變得“接地氣兒”。讀完這本書後，相信你的普通早晨將會變得不同尋常。

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“對物理與數學關係的一些看法。”

Richard Feynman

1965年，理查德·費曼在康奈爾大學發表了有關“物理與數學的關係” 的系列講話。被譽為”最偉大的講解員“的費曼先生在此談到了他認為的物理和數學之間的主要區別。他的觀點可以總結為以下幾點。

認識論的差別

“ 數學家們研究那些可以‘使用’的抽象推理，即使他們也不知道可以‘使用’在哪些地方。”

首先，費曼指出了那些學習數學的人們在認識論方面的差異，尤其是一些元數學家們的（Metamathematician，代表一些利用數學方式研究數學的數學家）。

數學家們只注重處理推理的結構，而非推理的內容。就像他們自己所說得，他們不需要知道自己該說什麼，或者自己說的是否正確。

接下來，他形容一般系統的計算性能和一些機器可推導出人類無法的定理的可能性：

現在，設想如果你談起一個定理的時候說：“某某和某某是這樣”和“某某和某某是那樣”，會怎麼樣？雖然我們不知道“某某”代表什麼，但是這個句子的邏輯是可以理解的。

就是說，如果關於定理的陳述是正確的（也就是說，是表述確切且完整的），那麼進行推理的人不一定需要了解這些詞的含義。他能夠用同樣的語言得出新的結論。比如說在定理中用單詞：三角形，則在結論中會出現三角的表述。而在做推理的人不一定需要知道什麼是三角形。但是，他可能將通過閱讀這個定理說：“哦，一個三角形就是有三條邊的東西等等。”所以你得知了這個事實。換句話說，這就是所說的：數學家們研究那些可以被‘使用’的抽象推理。

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<code>這與物理方面的認知論形成了鮮明的對比：/<code>

物理學家認為所有的詞都很重要。很多非數學出身的物理學家不能意識到的一件非常重要的事情是：物理學不是數學，數學也不是物理學。但它們能夠相互幫助。但是，你需得了解單詞和現實世界的聯繫。如果需要的話，還得將其翻譯為現實的問題和實驗，並在實驗室進行驗證，證明它的結果是不是正確的。這確實不是數學要研究的問題。物理和數學之間的另一層關係是，數學推理在現實中發揮巨大的作用並應用於物理學中，有時，物理學家的推導對數學也有幫助。

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到此為止，費曼沒有進一步解釋，但是有一個相關的示例是愛德華·維滕的正能量定理（他因此獲得菲爾茲獎）。在闡述愛德華·維滕成果的論文中，數學家邁克爾·阿蒂亞隨後描述了其對數學的重要性：

他用數學的形式來解釋物理思想的能力非常獨特。他一次次地將物理中深刻的洞察力應用到新穎且深入的數學理論中的做法，使得數學界大吃一驚。他對數學界產生了深遠的影響。在他的手中，物理再一次為數學提供了靈感和洞察力。

——邁克爾·阿蒂亞

適用性的不同

“數學家們喜歡將他們的推論變得儘可能普遍。”

費曼繼續以一種幽默的方法討論數學的應用，這些應用往往與大多數物理學家的興趣點形成鮮明對比：

如果你說“這有一個三維空間”，並問數學家關於此的定理，他們會說：“看，如果有一個n 維的空間，有定理某某某。”“但是，我只想要知道三維空間的。。。”“這樣就假設n=3 ！”事實證明，它們比許多複雜的定理要簡單許多，因為它們恰好是某些特殊情況。物理學家總對某些特殊情況情有獨鍾。

物理學家對一般的情況不感興趣，總是在探討那些具體的問題，而不是在抽象地討論事情。他知道討論的是什麼，比如說他想要討論萬有引力，而不想討論任何力的情況，只要萬有引力。當然，由於數學家是為了更普遍的問題提出的定理，因此應用到特定的問題上會損失其普遍性。後來總會發現，有很多“可憐”的物理學家回過頭說：“勞煩了，您能不能告訴我四維的。。。”

直覺和嚴謹

“‘可憐的’數學家們沒有直覺的引導，只有嚴謹、謹慎的精確數學論點。”

費曼接下來談到了兩門學科的發現過程，強調了物理學家優勢在於：在某些本質上來說，他們的學科是應用的而非純粹抽象的：

當你知道你在說什麼時——這是力，這是質量，這是慣性等等——可以用一系列常識性的、經驗性的關於世界的感知。隨著認識事物的增多，或多或少的，你可以知道該現象的行為模式。

然而，“可憐的”數學家會將其轉變為對他來說沒有意義的符號和方程，他們沒有直覺的指導，但有嚴謹、謹慎的精確數學論點。

鑑於物理學家們或多或少知道一些答案的方向，他們會冒出來給出一些猜想，然後剩下的留給數學家們繼續。

數學中精準的嚴謹性在物理中不是很有用，對現代數學公理的態度也是。現在，數學家們可以做他們想要做的事情，人們不應該批判他們，因為他們不是物理的奴隸。不能因為這樣對你們有用，所以他們必須這樣做。他們可以做他們想要的工作，這是他們自己的工作，如果你需要其他東西，請自己來做。

費曼在這裡認為，因為物理研究自然現象，人類對此有一定的直覺傾向。這與描述某些數學定理的發現恰恰相反，包括約翰·福布斯·納什關於非線性偏微分方程的發現：

1950年代的數學家們已經知道了如何利用計算機求解常微分方程（ODEs）的比較繁瑣的流程。但是還沒有找到解決非線性偏微分方程的確切方法，比如說在噴氣式發動機的湍流運動中出現的方法。

但是1958年，納什就能夠用自己發現的方法獲得基本存在的、唯一的、連續的定理。令人驚訝的是，這涉及到將“非線性方程轉變為線性方程，然後用非線性進解決”，這是前人從未想到過的“天才之筆”，彼得·拉克斯如是評價說。關於這項技術，隆德大學（the University of Lund）數學教授，偏微分方程專家拉爾斯·高丁隨後聲明：“要做這一點，你必須是個天才”。

論模型的實用性

費曼接下來討論了物理模型的實用性，以及其在新發現中“似乎”缺少的用處：

接下來的問題是，在我們嘗試發現新的定律時，能否進行一些猜測？能否利用直覺和哲學原理等等，像“我不喜歡最小原理，喜歡最小控制”或者“我喜歡或不喜歡遠距離作用。”

問題是模型在多大程度上有幫助，這是一件非常有趣的事情。模型經常有所助益，物理老師們也常教給學生模型的用法，以及如何通過模型對事物發展有一個清晰的物理直覺。

但是，最偉大的發現，總是會從模型中抽象出來的。它從來沒有做過具體的事情。麥克斯韋的電動力學首先從滑輪上一系列虛構的輪子和空中的磁場得出的。如果移除所有的滑輪和磁場，就是電動力學的抽象理論。狄拉克通過猜測方程就可以得出正確的相對論量子力學定理。

猜測方程的方法看起來是一個猜測新定理的有效方式。這再次表明，數學是表述自然的深層次的方法，而試圖以哲學原理或者直覺的機械感覺的表述並不是一種有效的方法。

數學和物理的適用性

為什麼要花費這麼多精力來研究一小段時空的發展過程？

奇妙的是，費曼繼續預測：在未來的某天，世界的本質將不會用數學的語言來表示，相反，會有另外的方法來表示自然的運作，其需要少量的運算：

我必須說，我經常假設物理的終點將不再需要數學方面的陳述，其內在的機制將在未來被揭曉。使我困惑的是，儘管目前存在諸多問題，但根據目前的定理和我們的經驗來看，無論研究的區域多小，時間多短，都需要無限的計算時間和邏輯概念來描述這一問題。

那麼，在一個小空間中的所有事情的邏輯是什麼？為什麼需要無限的邏輯來弄清其發展的過程？因此，我假設所有的定理都將會像西洋跳棋一樣簡單，所有的複雜度都是由於規模不同產生的。

但是，這跟其他人的預測本質是一樣的。就像有人說：“我喜歡這樣”“你不喜歡這樣”有著明顯的偏見，這對於科學研究不好。