為了給各位學習國際課程的同學們，帶來更多的乾貨備考資料。深圳新東方國際學科的各位老師們在百忙的授課之餘；整理出了一份原創的“新東方國際學科備考系列文章”。
以下是“深圳新東方國際學科備考系列”的
第五篇：
AP-微積分：“黎曼和”是什麼？
我們常說的“微積分(calculus)”包括了“微分(derivative)”和“積分(integral)”兩個部分。
如果說“微分”是將一個宏觀的，很大的物體拆成微觀上很小的一塊一塊，那麼“積分”就是將這些微觀上很小的一塊一塊拼湊回那個整體。這也是為什麼同學們在學習微積分時，最開始接觸積分，都是以它作為微分的逆運算(anti-derivative)入門進行學習的。
但實際上，真正的積分(integral)來源於一個叫做Bernhard Riemann (1826-1866)的德國數學家。
波恩哈德·黎曼 Bernhard·Riemann
(1826-1866)
在當時微分的概念被普遍傳播的背景下，他開始思考並想出瞭如何計算一塊不規則土地的面積：將這不規則圖形切成一條條的小長條，然後將這個長條近似的看成一個矩形(rectangle)，再分別測量出這些小矩形的長度，再計算出它們的面積，把所有矩型面積加起來就是這塊不規則地的面積。
這就是著名的：
“黎曼和”(Riemann Sum)
例如：
我們想知道在這個函數f（x）=x² 從 x=0到x=4之間和x-axis所圍成的面積。（圖1）
圖1
根據黎曼提出的方法，我們可以把它分成4個寬度相等(均為1)但高不相同的長條（圖2），那麼我們所想知道的面積可以被估計為：
圖2
但是，從圖2不難看出，我們所找到的估計值比實際值是要多出4塊不規則圖形的，那麼有什麼方法可以減少我們“估計值”和“實際值”的誤差呢？
答案是：把這塊面積分成更多寬度相等的長方形。
圖3
這一次，我們把它分成8個寬度相等(均為0.5)但高不相同的長條（圖3），那麼我們所想知道的面積可以被估計為：
這一次，雖然我們估計出來的數值依然高於實際我們所需要求的面積，但相較於分成4份而言，這個估計的誤差已經縮小了很多。當然，與此同時，我們的計算過程也變得更加的複雜了。
那麼，在先不考慮計算量的情況下，我們如何能儘可能的準確估計實際的面積呢？
答案呼之欲出：分成儘可能多的（無數個）寬度相等的長方形。（圖4）
圖4
假設我們分成了n個長方形，那麼每個長方形的寬應為：
第一個長方形的高為：
第二個長方形的高為：
第三個長方形的高為：
最後一個（第n個）長方形的高為：
則面積為：
（注：在面積的化簡過程中，我們用到了平方和公式：
具體證明過程在此省略，有興趣的同學可以運用數學歸納法induction自行推導。另外 4／n=w 是我們一開始所假設的寬。）
當我們分成無數個這樣的長方形時，n趨近於∞，我們的面積運用極限的知識可以求得：
當然，在一開始，由於我在決定每個長方形高度時，都選擇了右手邊作為高，這導致了我們計算的面積高於了我們實際的面積，隨著我們分成的長方形的數量越來越大，多出來的部分也隨之減小，從而最終當
n趨近於∞時得到一個確切的數值。類似的，我也可以把每個長方形的左手邊作為高（圖5），這樣雖然會導致計算的面積低於我們實際的面積，但同樣當n趨近於∞時得到一個確切的數值，並且這兩個數值是相等的。
圖5
抑或是把每個長方形選取中間作為高（圖6），當n趨近於∞時求得的面積依然是相同的。
圖6
當然，除了把這塊面積分成很多個長方形，我們也可以把它分成梯形來計算。
以上四種方式就是在我們AP微積分中常被考察到利用黎曼和估計某塊面積（積分）的方法：
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