數學的花園裡還隱藏著了許多秘密，今年阿貝爾獎得主的工作表明，隨機遊走或許會是揭示其中一些秘密的很好的策略。

撰文｜原原

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3月18日，希勒爾·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）和格雷戈裡·馬古利斯（Gregory Margulis）榮獲了2020年度阿貝爾獎——數學界的最高榮譽之一，以表彰他們在群論、數論和組合數學中開創性地使用概率與動力學方法。

他們利用隨機遊走技術（random walk techniques）來研究線性群的結構，通過取隨機選擇的矩陣的乘積，來描述結果會如何增長，以及這種增長對群的結構意味著什麼。他們二人彌合了不同數學領域間的差異，解決了那些看似遙不可及的問題。

弗斯滕貝格（左）和馬古利斯（右）都曾因猶太人身份而遭受不公待遇。弗斯滕貝格1935年出生在柏林，4歲時和家人逃避納粹而定居紐約；後來他移居以色列，在耶路撒冷希伯來大學任教，直到2003年退休。1946年，馬古利斯生於莫斯科，是反猶太主義體制下的受害者，猶太人的身份使他無法在1978年出國去領取菲爾茲獎；後來他移民美國，現在仍然在耶魯大學從事數學研究。| 圖片來源：Yosef Adest / Dan Renzetti

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如果你在花園裡藏了些點心讓你的狗去找，它一定會立刻用它靈敏的鼻子展開搜尋。它的嗅探軌跡看起來是相當隨機的，顯然，這隻狗不喜歡系統化的搜尋方式。但無論如何，過了一小段時間，它找到了“戰利品”。狗的本能使它天生就懂得如何以隨機的方式不斷變化方向來進行搜索。

在數學中，狗的這種搜索行為就可被總結歸類在隨機遊走的概念中。隨機遊走是概率論的一個核心分支，它描述的是在數學空間中由一系列隨機步驟構成的路徑。

在我們的生活中，有許多物理系統都是由這種隨機遊走描述的，比如氣體分子的行為、股票市場的漲落、遺傳漂變的統計特性以及大腦中神經元的放電等等。但隨機遊走也可被看作是一種用來探索數學對象的工具，就像狗試圖理解花園一樣。

只不過，弗斯滕伯格和馬古利斯的隨機遊走不是用來尋找埋藏在花園裡的獎品，而是隨機遊走在圖或群上，他們試圖用隨機遊走來揭示這些數學對象的秘密。

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以挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）命名的李群，就是一類頗受歡迎的數學對象。李群是描述幾何對象的對稱性（如三維空間中的旋轉對稱）的數學對象。李的靈感來自於阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）早期關於代數方程的解的研究。無論是阿貝爾對五次方程的不可解性的證明，還是伽羅瓦將多項式方程的解與域擴張的某些自同構群相聯繫在一起，都是通過擴展視野來理解細節的絕妙例子。李的想法是引入一種類似的方法來研究微分方程的對稱性。從那時起，瞭解這些群的結構來求解基本的微分方程，便成了數學家的一項重要任務。

弗斯滕伯格和馬古利斯通過提出概念和證明定理，為我們理解李群做出了巨大貢獻。通常來說，李群是無限的，也是非緊的，例如，無論我們如何考慮群，它都具有一些無界性。隨機遊走技術非常適合捕捉無界的本質。

如果狗的搜尋軌跡是遍歷的，那麼它終究能接近目標物。事實上，如果我們在目標物周圍畫一個小圈，這個圈可以有任意半徑，那麼在一段時間後，它將能嗅聞到圓圈的範圍裡，並可能找到目標。這是一個遞歸的例子。動態系統的遞歸能追溯到19世紀末亨利·龐加萊（Henri Poincarè）的工作。他證明，在某些條件下，一個動態系統（也就是一個隨時間發展的系統）將回歸到，或者至少幾乎迴歸到環繞空間中的任意一點。利用隨機遊走技術，我們能將群的大小和遞歸問題聯繫起來。如果群“太大”，在隨機遊走的過程中遞歸可能不會發生，反之亦然。

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弗斯滕伯格和馬古利斯的數學貢獻包含許多基於遍歷理論、遞歸、李群和隨機遊走所提出的概念。弗斯滕伯格引入了

在數學的花園裡還隱藏著了許多秘密，今年阿貝爾獎得主的工作表明，隨機遊走或許會是揭示其中一些秘密的很好的策略。

\\ 圖靈獎 /

在同一天，ACM公佈了有“計算機界諾貝爾獎”之稱圖靈獎獲獎者，他們分別是Edwin Catmull

Deborah Coleman / Pixar; Andrew Brodhead / Stanford University

[1] https://www.abelprize.no

[2] https://amturing.acm.org

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